Tú números naturales fueron el primer conjunto numérico que se tuvo en cuenta, históricamente. Salieron de la Necesito contar del ser humano. El conjunto de números naturales tiene como elementos el números positivos y enteros, como 1, 2, 3, 4,…. Este conjunto tiene las operaciones de suma, sustracción, multiplicación, división, potenciación y Radiación.
¿Qué son los números naturales?
los números naturales son números estrictamente positivo que no tienen coma, es decir, representan cantidades entero. El conjunto de números naturales se puede representar de la siguiente manera:
El conjunto de números naturales es un conjunto infinito, es decir, dado cualquier número natural, hay al menos un número mayor que él. Vea algunos ejemplos de elementos que pertenecen y no pertenecen a este conjunto.
Del ejemplo anterior, tenemos que los números 10, 2 y 100 pertenecen al conjunto natural, y los números 1.65, –2 y 0 no pertenecen al conjunto natural.
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Sucesor de un número natural
Como dijimos anteriormente, el conjunto de números naturales es un conjunto infinito, es decir, dado cualquier número No natural, siempre hay n + 1, también natural. El número n + 1 se llama el sucesor de norte. Para determinar el sucesor de cualquier número natural, simplemente agregar 1 a ese número. Como ejemplo, determinemos los sucesores de los números 3, 1, 5 y 2p + 1.
El sucesor del número 3 viene dado por 3 + 1, es decir, el número 4. Del mismo modo, los sucesores de 1 y 5 son, respectivamente, 2 y 6. Siguiendo la definición de sucesor, supongamos que el sucesor de 2p + 1 es 2p + 1 + 1, es decir, 2p + 2.
Con la definición de sucesor se aclara la idea de que el conjunto de números naturales es infinito, ya que siempre es posible encontrar cualquier sucesor de un número natural.
Antepasado de un número natural
El predecesor de un número natural. No es el que precede a este numero No. Podemos escribir el predecesor de No como n - 1. Como ejemplo, determinemos los predecesores de los números 2, 5, 1000 y 2p + 1.
El predecesor de 2 viene dado por 2 - 1, por lo que es el número 1. Del mismo modo, los predecesores del 5 y el 1000 son, respectivamente, los números 4 y 999. El predecesor del número 2p + 1 es 2p + 1 - 1, es decir, el predecesor de 2p +1 es el número 2p.
Es importante decir que no todos los números naturales tienen un predecesor, es el caso del número 1. Aplicando la definición de antepasado, tenemos que el antecesor del número 1 es 1 - 1 = 0, pero El número el cero no pertenece a los números naturales. Por lo tanto, todo número natural tiene un predecesor, con la excepción del número 1. Por esta razón, al número 1 se le llama el elemento mínimo de los naturales, es decir, es el número natural más pequeño. Podemos escribir esta información así:
Subconjunto de números naturales
Sabemos que el conjunto de números naturales está formado por números estrictamente positivos, es decir, números mayores que cero. De la teoría de conjuntos, tenemos que, dados los conjuntos A y B, decimos que B es un subconjunto de A si cada elemento de B es un elemento de A, es decir, B está contenido en A (B ⸦ A).
Por tanto, cualquier conjunto formado por números naturales será un subconjunto de los números naturales. Vea algunos ejemplos:
Considere los conjuntos:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Los conjuntos A, B y C son subconjuntos de los números naturales, ya que todos los elementos de estos conjuntos son también elementos de los naturales, es decir, podemos decir que:
Ahora mira el conjunto D. Tenga en cuenta que, en este conjunto, no todos los elementos pertenecen al conjunto de números naturales. Este es el caso del número 0. Por tanto, D no es un subconjunto de números naturales, es decir, D no está contenido en el conjunto de números naturales. Denotamos este hecho de la siguiente manera:
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incluso números naturales
Decimos que un número es par si es múltiplo del número 2, lo que equivale a decir que este número es divisible por 2. Vea:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Debido a que el conjunto de números naturales es un conjunto infinito, también lo es el conjunto de números pares. También tenga en cuenta que cada elemento del conjunto de números pares es también un elemento de los números naturales y, por lo tanto, el conjunto de los números pares son un subconjunto de los naturales..
Mira eso:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
El conjunto de números pares se puede obtener multiplicando todos los números naturales por el número 2. Entonces, considerando un número natural No, podemos escribir un número par usando la expresión 2n, por lo que el conjunto de números pares se puede escribir en general por:
Como ejemplo, averigüemos si los números 1000, 2098 y 55 son pares.
Dado que 1000 = 2 · 500 y 2098 = 2 · 1049, son pares porque hay un número natural que, multiplicado por 2, los da. Ahora, 55 no es par, ya que no hay un número natural que, multiplicado por 2, dé como resultado 55. Vea:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Como bien sabemos, no existe un número natural entre 27 y 28, por lo que 55 no es par.
Números naturales impares
Un número es impar si no es par, es decir, cuando no es ni múltiplo ni divisible por 2. Por tanto, el conjunto de Los números naturales impares son números naturales que no son múltiplos de 2. Este conjunto se puede escribir de la siguiente manera:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
De manera análoga a lo que hicimos en el conjunto de números pares, tenemos:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
El conjunto de números impares se puede obtener multiplicando todos los números naturales por 2 y sumando 1. considerando un número natural No any, podemos escribir cualquier número impar usando la expresión 2n + 1. En términos generales, representamos el conjunto de números impares mediante:
Tenga en cuenta que el conjunto de números impares también es un conjunto infinito, ya que para obtener los números impares multiplicamos los números naturales por 2 y luego sumamos 1. Por esta razón, la El conjunto de números impares también es un subconjunto de los naturales., porque cada elemento de este conjunto es también un elemento de los naturales.
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ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Enumere solo los números naturales de los números enumerados a continuación:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 y 98.765
Solución
Sabemos que el conjunto de números naturales está formado por números estrictamente positivos que no tienen coma, por lo que los números naturales de la lista son: 1, 2 y 98,765.
Pregunta 2 - Considerando la forma general de un número par, ¿es cierto que, sumando dos números pares, el resultado sigue siendo par? ¿Lo mismo ocurre con los números impares?
Solución
Sabemos que, en general, se puede escribir un número par multiplicando cualquier número natural por 2. Considere dos números naturales distintos, 2n y 2m, donde metro y No cualquier número natural, la suma de los dos está determinada por:
2n + 2m
Poniendo el número 2 en evidencia, tenemos:
2 · (n + m)
Como No y metro son dos números naturales, su suma también es, entonces n + m = k, donde k un número natural.
2 · (n + m)
2 · k
Por lo tanto, la suma de dos números naturales pares también es un número par, ya que la suma resultó en un múltiplo de 2.
Ahora sabemos que un número impar se obtiene al multiplicar un número natural por 2 sumado al número 1. Ahora considere dos números impares distintos, 2n +1 y 2m + 1, con metro y No natural. Sumando estos números, tenemos:
2n + 1 + 2m +1
2n + 2m +2
Nuevamente poniendo el número 2 en evidencia, tenemos:
2 (n + m + 1)
Tenga en cuenta que n + m + 1 es un número natural y podemos representarlo por p, es decir, n + m + 1 = p, pronto:
2 ·(n + m + 1)
2 · PAG
Tenga en cuenta que el resultado de sumar dos números impares resultó en un múltiplo de 2, es decir, par. Por lo tanto, la suma de dos números impares es un número par.
Pregunta 3 - (Licitación / Pref. de Itaboraí) El cociente entre dos números naturales es 10. Al multiplicar el dividendo por 5 y reducir el divisor a la mitad, el cociente de la nueva división será:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Solución
Según el enunciado, el cociente (división) entre dos números naturales es 10. Como todavía no sabemos cuáles son estos números, vamos a nombrarlos por metro y No, luego:
Ahora, multiplicando el dividendo por 5 y reduciendo el divisor a la mitad, tenemos:
Realizando el división de fracciones y reemplazando el valor de metro, tendremos:
Respuesta: Alternativa e.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm
