Dado cualquier punto P con coordenadas (x0, y0) comunes a dos rectas rys, decimos que las rectas son concurrentes en P. Por tanto, las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación de las rectas rys.
dadas las rectas a: el1x + b1y + c1 = 0 y s: el2x + b2y + c2 = 0, serán competidores si cumplen la condición establecida por la siguiente matriz cuadrada: 
.
Así, dos líneas serán concurrentes si la matriz formada por sus coeficientes ayb resulta en un determinante distinto de cero.
Ejemplo 1
Compruebe si las rectas r: 2x - y + 6 = 0 y s: 2x + 3y - 6 = 0 son competidores.
Resolución:
El determinante de la matriz de coeficientes de las líneas rys resultó en el número 8, que es diferente de cero. Por tanto, las rectas son competidoras.
Determinando la coordenada del punto de intersección de las líneas.
Para determinar la coordenada del punto de intersección de las líneas, simplemente organice las ecuaciones de las líneas en un sistema de ecuaciones, calculando los valores de xey, usando el método de resolución de sustitución o adición.
Ejemplo 2
Determinemos las coordenadas de los puntos de intersección de las rectas r: 2x - y + 6 = 0 ys: 2x + 3y - 6 = 0.
arreglando las ecuaciones
r: 2x - y + 6 = 0 → 2x - y = –6
s: 2x + 3y - 6 = 0 → 2x + 3y = 6
Ensamblando el sistema de ecuaciones:
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Resolviendo el sistema por el método de reemplazo
1a ecuación - aislar y
2x - y = –6
–Y = - 6 - 2x (multiplicar por –1)
y = 6 + 2x
2da ecuación: reemplace y por 6 + 2x
2x + 3y = 6
2x + 3 (6 + 2x) = 6
2x + 18 + 6x = 6
2x + 6x = 6 - 18
8x = - 12
x = -12/8
x = – 3/2
Determinando el valor de y
y = 6 + 2x
y = 6 + 2 * (- 3/2)
y = 6 - 6/2
y = 6 - 3
y = 3
Por tanto, las coordenadas del punto de intersección de las rectas r: 2x - y + 6 = 0 ys: 2x + 3y - 6 = 0 es x = -3/2 y y = 3.
por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Geometría analítica - Matemáticas - Escuela Brasil
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SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Condición de competición de dos líneas rectas"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/condicao-concorrencia-duas-retas.htm. Consultado el 29 de junio de 2021.
