Las permutaciones son parte de los problemas de conteo. Usamos permutaciones para saber el número de órdenes de los elementos de un conjunto. Practica tus conocimientos sobre permutación y resuelve tus dudas con los ejercicios resueltos.
Ejercicio 1
Dos amigos jugaban con dados de seis caras. Se sabe que salieron los números 4, 1, 2 y 5, no necesariamente en ese orden. ¿Cuántas secuencias de resultados podría haber habido?
Respuesta: 24
Algún orden de resultados podría ser:
1, 2, 4 y 5 o
5, 4, 5 y 1 o
4, 5, 1 y 2
Para determinar el número total de ordenamientos posibles, calculamos una permutación con cuatro elementos distintos.
Ejercicio 2
Un grupo de seis amigos fueron a ver una película al cine y compraron sus entradas para la misma fila de asientos. Considerando que hay una pareja y se sentaron en sillas vecinas, ¿de cuántas maneras podrían caber estos amigos en la fila de sillas?
Respuesta: 240
Como en el cálculo se consideran todos los elementos del conjunto "amigos", se trata de un problema de permutación.
Para calcular el número total posible de permutaciones, consideramos 5 elementos, ya que la pareja siempre debe estar junta.
Además, de estas 120 posibilidades hay que multiplicarlas por dos, ya que la pareja puede intercambiar lugar entre sí.
Así, el número de formas posibles para que los amigos se organicen en la fila de sillas es:
120. 2 = 240
Ejercicio 3
Una clase de 7 alumnos está jugando en el patio aprovechando su recreo. Al escuchar la señal que informa el regreso a las aulas, los estudiantes se mueven para formar una fila. ¿De cuántas maneras diferentes pueden los estudiantes formar la secuencia de la cola?
Respuesta: 5040
El número total de formas posibles de organizar la cola es una permutación de 7 elementos distintos.
Ejercicio 4
Un fotógrafo ajusta su cámara para fotografiar a 5 niños dispuestos en un banco. En este grupo hay 3 niñas y 2 niños. Una posible disposición de los niños para la foto sería:
Considerando las posiciones en las que los niños pueden sentarse en el banco, ¿de cuántas maneras puede el fotógrafo organizar a los niños y a las niñas, obteniendo fotografías diferentes?
Respuesta: 10
Este es un caso de permutación con elementos repetidos. Debemos dividir el número total de permutaciones por el producto entre las permutaciones de los elementos que se repiten.
Ejercicio 5
¿Cuántos anagramas se pueden hacer con las letras de la palabra PREFEITURA?
Respuesta: 907 200
La palabra AYUNTAMIENTO tiene 10 letras, algunas de las cuales están repetidas. La letra E aparece dos veces, al igual que la R.
Calculamos la división entre la permutación de 10 elementos y dividimos por el producto de las permutaciones de elementos repetidos.
Ejercicio 6
(UEMG 2019) Del conjunto de todas las permutaciones de las letras de la palabra PONTA, se elimina una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de eliminar una palabra que comienza y termina con vocal?
a) 1/20
segundo) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Paso 1: número de todas las permutaciones con las letras de la palabra PONTA.
Como hay cinco letras distintas, tenemos:
Paso 2: número de permutaciones que comienzan y terminan con vocal.
Para la primera letra hay dos opciones de vocales, para la última letra solo habrá 1.
¡Para consonantes hay 3! posibilidades.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Paso 3: determine la razón de probabilidad.
Ejercicio 7
(EsPCex 2012) La probabilidad de obtener un número divisible por 2 al elegir al azar una de las permutaciones de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 es
a) 1/5
segundo) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
mi) 1/2
Paso 1: permutaciones totales.
Como hay cinco elementos distintos, tenemos que el número de permutaciones de 5 elementos es igual a 5 factorial.
Paso 2: permutaciones de números divisibles por dos con cinco dígitos.
Para ser divisible por 2 la condición es que sea par. Así, existen dos opciones para el último dígito, 2 y 4.
¡Para las otras posiciones hay 4! posibilidades.
Paso 3: cálculo de probabilidad.
Ejercicio 8
(EsFCEx 2022) Sea P el conjunto de permutaciones de la secuencia 1, 3, 6, 9, 12 cuyo primer término es distinto de 1. Si una de estas secuencias se extrae aleatoriamente, la probabilidad de que el segundo término sea 3 es igual a p/q, con p, q ∈ IN* y mcd (p, q) = 1. Por lo tanto, q – p es igual a
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
mi) 11.
Paso 1: determina el número total de casos posibles en el espacio muestral.
De derecha a izquierda, el primer número no puede ser uno, por lo que existen 4 posibilidades para ocupar la primera posición.
¡Quedan 4 para ocupar los demás puestos! posibilidades.
Las permutaciones son:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Paso 2: determina las posibilidades de que ocurra el evento, siendo el segundo tres, siendo el primero diferente de uno.
Las permutaciones son:
3.1.3.2.1 = 18
Paso 3: ratio de probabilidad.
La razón de probabilidad es:
Con p = 18 y q = 96.
Sin embargo, todavía existe la condición de que el máximo común divisor entre p y q sea 1, lo que no ocurre con 18 y 96.
Debemos simplificar y probar fracciones equivalentes a 18/96.
Etapa 4: simplificación de la fracción de probabilidad y determinación de p y q.
Como mcd (3, 16) = 1, p = 3 y q = 16.
Paso 5: conclusión.
q - p = 16 - 3 = 13
Aprender más acerca de permutación.
Para más ejercicios, consulte:
Ejercicios de análisis combinatorio.
ASTH, Rafael. Ejercicios de permutación resueltos y explicados.Todo importa, [Dakota del Norte.]. Disponible: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Acceso en:
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