A relaciones métricas en el triángulo equilátero registrados son expresiones que se puede utilizar para calcular algunas de las medidas en esta figura utilizando sólo la medida de la radio del círculo.
Decimos que un polígono es registrado en una circunferencia cuando todos sus vértices le pertenecen. Uno triánguloequilátero es uno que tiene todos los lados congruentes. Como resultado de esto, todos anglos también son congruentes y miden 60 °.
A partir de esta información, observe las relaciones métricas en el triánguloequiláteroregistrado.
Un triángulo inscrito define tres ángulos centrales de 120 °
Para darse cuenta de esto, vea que el triánguloequilátero dividir el circunferencia en tres partes iguales, como se muestra en la siguiente figura:
Por lo tanto, cada ángulointerno es la tercera parte de la circunferencia completa:
1·360 = 120
3
El lado del triángulo inscrito se obtiene mediante la expresión:
l = r√3
En esta expresión, l es la medida del lado del triángulo y r es la medida de relámpago da circunferencia en el que esta figura es inscrito.
Esta expresión se obtiene del propio triángulo, en el que el radio del círculo y el apotema, como se hace en la siguiente imagen:
O apotema es un segmento recto comenzando desde el centro de un polígono y yendo al punto medio de uno de sus lados. Como ese triángulo é equilátero, la apotema también es bisectriz y altura del ángulo central AÔC.
Ya sabemos, entonces, que en el triángulo construido, tenemos un ángulo recto y un ángulo de 60 °, como se resalta en la figura. Además, también sabemos que la apotema divide el lado AC por la mitad. Por tanto, el segmento PC de la figura mide 1/2.
Después de este procedimiento, que también se utilizará en el próximo relaciónmétrico, solo mire el triángulo POC, resaltado en la imagen a continuación:
Si calculamos el seno de 60 ° en este triángulo, tenemos:
sen60 ° = 1/2
r
√3 = allí 22r
√3 = allí
r
r√3 = l
l = r√3
La apotema del triángulo equilátero inscrito viene dada por la expresión:
a = r
2
Esta expresión se obtiene del cálculo del coseno de 60 ° en el triángulo POC del relaciónmétrico anterior. Calculando el coseno de 60 °, tenemos:
cos60 ° = La
r
1 = La
2 r
r = el
2
Ejemplo:
Calcule las longitudes de apotema y al lado de un triánguloequiláteroregistrado en una circunferencia de radio de 20 cm.
Solución: Para calcular estas medidas, simplemente use las fórmulas dadas para averiguar el apotema y el lado de triánguloequilátero, reemplazándolos con la medida del radio del circunferencia.
Apotema:
a = r
2
a = 20
2
a = 10 cm
Lado:
l = r√3
l = 20√3
l = 20 · 1,73
l = 34,6 cm
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-no-triangulo-equilatero-inscrito.htm