Hacia operaciones con conjuntos son unión, intersección y diferencia. El resultado de cada una de estas operaciones es un nuevo conjunto. Para indicar la unión entre conjuntos utilizamos el símbolo ∪; para la intersección, el símbolo ∩; y por la diferencia, el símbolo de sustracción\(-\). En caso de diferencia, es imprescindible observar el orden en que se realizará la operación. En otras palabras, si A y B son conjuntos, entonces la diferencia entre A y B es diferente de la diferencia entre B y A.
Lea también: Diagrama de Venn: representación geométrica de conjuntos y operaciones entre ellos.
Resumen de operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos son: unión, intersección y diferencia.
La unión (o encuentro) de los conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B, formado por los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ o\ x∈B\}\)
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B, formado por los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ y\ x∈B\}\)
La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto A – B, formado por los elementos que pertenecen a A y los que no pertenecen a B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Si U (conocido como conjunto del universo) es un conjunto que contiene todos los conjuntos en un contexto dado, entonces la diferencia U – A, con A ⊂ U, se llama complemento de A. El complemento de A está formado por elementos que no pertenecen a A y está representado por Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Lección en video sobre operaciones con conjuntos.
¿Cuáles son las tres operaciones con conjuntos?
las tres operaciones con conjuntos son: unión, intersección y diferencia.
unión de conjuntos
La unión (o encuentro) de los conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B (léase “La unión B”). Este conjunto está formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A. o pertenecen al conjunto B, es decir, el elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos.
Representando los elementos de A ∪ B por x, escribimos
\(A∪B=\{x; x∈A\ o\ x∈B\}\)
En la imagen de abajo, la región naranja es la colocar A ∪B.
¿Parece difícil? ¡Veamos dos ejemplos!
Ejemplo 1:
¿Cuál es el conjunto A ∪ B, si A = {7, 8} y B = {12, 15}?
El conjunto A ∪ B está formado por los elementos que pertenecen a A o pertenecen a b. Como los elementos 7 y 8 pertenecen al conjunto A, ambos deben pertenecer al conjunto A ∪ B. Además, como los elementos 12 y 15 pertenecen al conjunto B, entonces ambos deben pertenecer al conjunto A ∪ B.
Por lo tanto,
A∪B={7, 8, 12, 15}
Tenga en cuenta que cada uno de los elementos de A∪B pertenece al conjunto A o al conjunto B.
Ejemplo 2:
Considere los conjuntos A = {2, 5, 9} y B = {1, 9}. ¿Cuál es el conjunto A ∪ B?
Dado que los elementos 2, 5 y 9 pertenecen al conjunto A, todos deben pertenecer al conjunto A∪B. Además, dado que los elementos 1 y 9 pertenecen al conjunto B, entonces todos deben pertenecer al conjunto A ∪ B.
Tenga en cuenta que mencionamos 9 dos veces, ya que este elemento pertenece al conjunto A y al conjunto B. Decir que “el conjunto A ∪ B está formado por los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B” no excluye elementos que pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B.
Entonces, en este ejemplo, tenemos
A∪B={1, 2, 5, 9}
Tenga en cuenta que escribimos el elemento 9 solo una vez.
Intersección de conjuntos
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B (léase “La intersección B”). Este conjunto está formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A. Es pertenecen al conjunto B. En otras palabras, A ∩ B se compone de los elementos comunes de los conjuntos A y B.
Indicando los elementos de A ∩ B por x, escribimos
\(A∩B=\{x; x∈A\ y\ x∈B\}\)
En la imagen de abajo, la región naranja es la colocar A ∩B.
¡Resolvamos dos ejemplos sobre la intersección de conjuntos!
Ejemplo 1:
Considere A = {-1, 6, 13} y B = {0, 1, 6, 13}. ¿Cuál es el conjunto A ∩ B?
El conjunto A ∩ B está formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A Es pertenecen al conjunto B. Tenga en cuenta que los elementos 6 y 13 pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B.
Así,
A∩B={6, 13}
Ejemplo 2:
¿Cuál es la intersección entre los conjuntos A = {0,4} y \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Tenga en cuenta que no hay ningún elemento en común entre los conjuntos A y B. Por tanto, la intersección es un conjunto sin elementos, es decir, un conjunto vacío.
Por lo tanto,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Diferencia entre conjuntos
La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto A – B (léase “diferencia entre A y B”). Este conjunto consta de todos los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.
Representando los elementos de A – B por x, escribimos
\(A-B=\{x; x∈A\ y\ x∉B\}\)
En la imagen de abajo, la región naranja es la conjuntoA – B.
Atención: la diferencia entre los conjuntos A y B no es la diferencia entre los conjuntos B y A, porque B – A está formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto B y no pertenecen al conjunto A.
Considere los dos ejemplos siguientes sobre la diferencia entre conjuntos.
Ejemplo 1:
Si A = {-7, 2, 100} y B = {2, 50}, ¿cuál es el conjunto A – B? ¿Qué pasa con el conjunto B – A?
El conjuntoAB Está formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A. EsNo pertenecen al conjunto B. Tenga en cuenta que 2 es el único elemento del conjunto A que también pertenece al conjunto B. Por tanto, 2 no pertenece al conjunto A – B.
Por lo tanto,
A – B = {-7, 100}
Además, el conjunto B – A está formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto B. EsNo pertenecen al conjunto A. Por lo tanto,
B-A = {50}
Ejemplo 2:
¿Cuál es la diferencia entre el conjunto A = {–4, 0} y el conjunto B = {–3}?
Tenga en cuenta que ninguno de los elementos de A pertenece a B. Por tanto, la diferencia A – B es el conjunto A mismo.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Observación: Considere que U (llamado conjunto del universo) es un conjunto que contiene todos los demás conjuntos en una situación dada. Así, la diferencia U–A, con A⊂U, es un conjunto llamado complementario de A y retratado como \(ANTES DE CRISTO\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
En la siguiente imagen, el rectángulo es el conjunto de universos y la región naranja es el conjunto de universos. \(ANTES DE CRISTO\).
Sepa mas: Paso a paso como hacer una división.
Ejercicios resueltos de operaciones con conjuntos
Pregunta 1
Considere los conjuntos A = {–12, –5, 3} y B = {–10, 0, 3, 7} y clasifique cada afirmación a continuación como V (verdadero) o F (falso).
I. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
El orden correcto, de arriba a abajo, es
A) V-V-V
B) FVV
C) VFV
D) F-F-V
E) FFF
Resolución
I. FALSO.
El elemento 0 debe pertenecer a la unión de A y B, ya que 0 ∈ B. Por lo tanto, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Verdadero.
III. Verdadero.
Alternativa B.
Pregunta 2
Considere A = {4, 5}, B = {6,7} y C = {7,8}. Entonces, el conjunto A ∪ B ∩ C es
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
mi) {4, 5, 6, 7, 8}.
Resolución
Tenga en cuenta que A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Por tanto, el conjunto A ∪ B ∩ C es la intersección entre A ∪ B = {4, 5, 6, 7} y C = {7,8}. Pronto,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativa A.
Fuentes
LIMA, Elón L.. Curso de Análisis. 7 ed. Río de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elón L. et al. Matemáticas de secundaria. 11. ed. Colección de profesores de matemáticas. Río de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
