A enraizamiento Es una operación matemática, al igual que la suma, resta, multiplicación, división y potenciación. De la misma manera que la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación inversa de la multiplicación, la radiación es la operación inversa de la potenciación. Así, para x e y positivos reales y un número entero n (mayor o igual a 2), si x elevado a n es igual a y, podemos decir que la raíz enésima de y es igual a x. En notación matemática: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Lea también:Potenciación y radiación de fracciones: ¿cómo hacerlo?
Resumen sobre el enraizamiento
La enraizamiento es una operación matemática.
La radiación y la potenciación son operaciones inversas, es decir, para x e y positivos, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Calcular la raíz enésima de un número y significa encontrar el número x tal que x elevado a n es igual a y.
La lectura de una raíz depende del índice n. Si n = 2, lo llamamos raíz cuadrada, y si n = 3, lo llamamos raíz cúbica.
En operaciones con radicales utilizamos términos con el mismo índice.
La radiciación tiene importantes propiedades que facilitan su cálculo.
Lección en video sobre enraizamiento.
Representación de una raíz
Para representar un enraizamiento, debemos considerar los tres elementos involucrados: radicando, índice y raíz. El símbolo \(√\) se llama radical.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
En este ejemplo, y es el radicando, n es el índice y x es la raíz. Se lee "la raíz enésima de y es x". Mientras que xey representan números reales positivos, n representa un número entero igual o mayor que 2. Es importante señalar que para n = 2, se puede omitir el índice. Así por ejemplo, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Podemos representar una radiciación usando el radicando con exponente fraccionario.. Formalmente decimos que la raíz enésima de \(y^m\) se puede escribir como y elevado al exponente fraccionario \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Vea los ejemplos:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Diferencias entre radiación y potenciación.
Potenciación y radiación. son operaciones matemáticas inversas. Esto significa que si \(x^n=y\), entonces \(\sqrt[n]{y}=x\). ¿Parece difícil? Veamos algunos ejemplos.
Si \(3^2=9\), entonces \(\sqrt[2]{9}=3\).
Si \(2^3=8\), entonces \(\sqrt[3]{8}=2\).
Si \(5^4=625\), entonces \(\sqrt[4]{625}=5\).
¿Cómo leer una raíz?
Para leer una raíz, debemos considerar el índice norte. Si norte = 2, lo llamamos raíz cuadrada. Si n = 3, lo llamamos raíz cúbica. Para valores de norte mayores, utilizamos la nomenclatura para los números ordinales: raíz cuarta (si n = 4), raíz quinta (si n = 5), etc. Vea algunos ejemplos:
\(\sqrt[2]{9}\) – raíz cuadrada de 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – raíz cúbica de 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – raíz cuarta de 625.
¿Cómo calcular la raíz de un número?
Veremos a continuación cómo calcular la raíz de un número real positivo. Para calcular la raíz de un número., debemos considerar la operación inversa relacionada. Es decir, si buscamos la raíz enésima de un número y, debemos buscar un número x tal que \(x^n=y\).
Dependiendo del valor de y (es decir, el radicando), este proceso puede ser sencillo o laborioso. Veamos algunos ejemplos de cómo calcular la raíz de un número.
Ejemplo 1:
¿Cuál es la raíz cuadrada de 144?
Resolución:
Llamemos x al número que buscamos, es decir, \(\sqrt{144}=x\). Tenga en cuenta que esto significa buscar un número x tal que \(x^2=144\). Probemos algunas posibilidades con números naturales:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Por lo tanto, \(\sqrt{144}=12\).
Ejemplo 2:
¿Cuál es la raíz cúbica de 100?
Resolución:
Llamemos x al número que buscamos, es decir, \(\sqrt[3]{100}=x\). Esto significa que \(x^3=100\). Probemos algunas posibilidades:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Tenga en cuenta que estamos buscando un número que esté entre 4 y 5, como \(4^3=64\) Es \(5^3=125\). Entonces, probemos algunas posibilidades con números entre 4 y 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Como \(4,6^3 \) es un número cercano y menor a 100, podemos decir que 4,6 es una aproximación a la raíz cúbica de 100. Por lo tanto, \(\sqrt[3]{100}≈4.6\).
Importante:Cuando la raíz es un número racional, decimos que la raíz es exacta; de lo contrario, la raíz no es exacta. En el ejemplo anterior, determinamos un rango entre raíces exactas donde se encuentra la raíz buscada:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Esta estrategia es muy útil para calcular aproximaciones de una raíz.
Operaciones con radicales
En operaciones con radicales utilizamos términos con el mismo índice. Teniendo esto en cuenta, lea atentamente la siguiente información.
→ Suma y resta entre radicales
Para resolver una suma o resta entre radicales debemos calcular la raíz de cada radical por separado.
Ejemplos:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Importante: No es posible operar con radicales en operaciones de suma y resta. Tenga en cuenta que, por ejemplo, la operación \(\sqrt4+\sqrt9\) resulta en un número diferente de \(\sqrt{13}\), aunque \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3.6\)
→ Multiplicación y división entre radicales
Para resolver una multiplicación o división entre radicales podemos calcular la raíz de cada radical por separado, pero también podemos utilizar las propiedades de radiación, que veremos a continuación.
Ejemplos:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
¿Cuales son las propiedades de la radiacion?
→ Propiedad 1 de la radiación
Si y es un número positivo, entonces la raíz enésima de \(s^n\) es igual a y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Vea el ejemplo:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Esta propiedad es muy utilizada para simplificar expresiones con radicales.
→ Propiedad 2 de la radiación
La enésima raíz del producto. \(y⋅z\) es igual al producto de las raíces enésimas de y y z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Vea el ejemplo:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Importante: Cuando calculamos la raíz de un número grande, es muy útil. factorizar (descomponer) el radicando en números primos y aplicar las propiedades 1 y 2. Vea el siguiente ejemplo, en el que queremos calcular \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Así,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Propiedad 3de enraizamiento
La raíz enésima del cociente \(\frac{y}z\), con \(z≠0\), es igual al cociente de las raíces enésimas de y y z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Vea el ejemplo:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Propiedad 4 de la radiación
La raíz enésima de y elevada a un exponente m es igual a la raíz enésima de \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Vea el ejemplo:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Vea también: ¿Cuáles son las propiedades de la potenciación?
Ejercicios resueltos sobre radiacion
Pregunta 1
(FGV) Simplificando \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), usted obtiene:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Resolución:
Alternativa C.
Tenga en cuenta que usando las propiedades de radiación, tenemos
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Por lo tanto, podemos reescribir la expresión del enunciado como
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
poniendo el término \(\sqrt3\) evidencia, concluimos que
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Pregunta 2
(Cefet) ¿Por qué número debemos multiplicar el número 0,75 para que la raíz cuadrada del producto obtenido sea igual a 45?
A) 2700
b) 2800
c) 2900
d) 3000
Resolución:
Alternativa A.
El número buscado es x. Así, según el comunicado,
\(\sqrt{0.75⋅x}=45\)
Por lo tanto,
\(0.75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
