Es conocido como número racional cada número que se puede representar como una fracción irreducible. A lo largo de la historia de la humanidad, la idea de número se ha desarrollado gradualmente de acuerdo con las necesidades humanas. La representación de números en fracciones, por ejemplo, resolvió problemas que se resolvieron solo con números enteros.
Un número racional se puede representar a partir de una fracción, por lo que existen métodos para transformar números enteros, numeros decimales decimales exactos y periódicos en fracciones.
Lea también: Operaciones con fracciones: ¿cómo resolverlas?
¿Qué son los números racionales?
Los números racionales son una expansión del conjunto de números enteros, luego, además de los números enteros, se agregaron todas las fracciones. O colocar de los números racionales está representado por:
Lo que dice esta representación es que un número es racional si se puede representar como fracción La acerca de B, tal que La es un número entero y B es un número entero distinto de cero. Pero si vamos a definir números racionales con menos rigor, podemos decir lo siguiente:
Los números racionales son todos los números que se pueden representar como una fracción. |
Cumplir con esta definición:
usted enteross, por ejemplo: -10, 7, 0;
usted números decimales exactos, por ejemplo: 1,25; 0,1; 3,1415;
a diezmos periódicos simples, por ejemplo: 1.424242…;
a diezmos periódicos compuestos, por ejemplo: 1.0288888…
No son números racionales:
A diezmos no periódicos, por ejemplo: 4,1239489201…;
A raícesno exacto, por ejemplo:
;- LA ranaIz cuadrado de números negativos, por ejemplo:
.
Observación: La existencia de números no racionales hace que surjan otros conjuntos, como los números irracionales y números complejos.
Representación de números racionales
Entender que la fracción es una división de dos números enteros, para ser un número racional, puedes representar este número como una fracción. Por lo tanto, cada uno de los casos mencionados anteriormente como números racionales (números enteros, decimales exactos y decimales periódicos) se puede representar como una fracción.
enteros
Hay infinitas posibilidades para representar un número entero como una fracción, ya que una fracción se puede representar de forma irreducible o no.
Ejemplos de:
decimales exactos
Para convertir un número decimal exacto en un fracción, contamos el número de números en su parte decimal, es decir, después del punto decimal. Si hay un número después de la coma, escribiremos la parte entera más la parte decimal sin la coma sobre 10. Si hay dos números en la parte decimal sobre 100, en la práctica, la cantidad de números en la parte decimal será la cantidad de ceros que tengamos en el denominador. Vea el ejemplo:
diezmos periódicos
Encontrar la representación fraccionaria de un diezmo no siempre es una tarea fácil, lo que llamamos fracción generadora. Para facilitar este trabajo, se observó que, en la ecuación que usamos para encontrar la fracción generadora, existen regularidades, lo que permitió el desarrollo de un método práctico.
Primero, debemos entender que hay dos tipos de diezmos periódicos, simples y compuestos. Uno el diezmo es simple si, en su parte decimal, solo existe la parte que se repite, es decir, el punto. Uno el diezmo es compuesto si en su parte decimal hay una parte no periódica.
Ejemplo:
9,323232… → decimal periódico simple
La parte entera es igual a 9.
El período es igual a 32.
8,7151515… → diezmo periódico compuesto
La parte entera es igual a 8.
La parte decimal no periódica es igual a 7.
El período es igual a 15.
Vea también: Fracciones equivalentes: fracciones que representan la misma cantidad
→ 1er caso: generación de fracción de un decimal periódico simple
En el primer caso, para convertir un decimal periódico simple en una fracción por el método práctico, simplemente escriba la parte completa más el punto sin la coma en el numerador. En el denominador, para cada elemento de la parte periódica, sumamos un 9.
Ejemplo:
La fracción generadora de 9.323232…, como hemos visto, tiene un período igual a 32, es decir, dos números en su período, por lo que el denominador es 99. La parte entera más la parte periódica sin la coma es 932, que es el numerador. Entonces, la fracción generadora de este diezmo es:
→ 2do caso: generación de fracción de un decimal periódico compuesto
El diezmo compuesto periódico es un poco más laborioso. Busquemos la fracción generadora del diezmo en el que trabajamos en el ejemplo.
8,7151515… → decimal periódico compuesto.
La parte entera es igual a 8.
La parte decimal no periódica es igual a 7.
La parte decimal del período es igual a 15.
El numerador será el sustracción 8715 - 87, es decir, la diferencia entre el número que va de la parte entera a la parte periódica con la parte no repetitiva del diezmo.
El numerador será igual a 8715 - 87 = 8628.
Para encontrar el denominador, analicemos la parte decimal. Primero veamos la parte decimal periódica y no periódica. En este caso, la parte decimal del número es 715. Para cada número que está en la parte periódica, agreguemos un 9 al comienzo del denominador. Dado que la parte periódica en este caso tiene dos números (15), habrá dos 9 en el denominador. Para cada número en la parte decimal que no sea periódico, agregaremos un 0 al final del denominador, que será 990.
Pronto, el fracción generadora del diezmo será:
Propiedades de los números racionales
Entre dos números racionales, siempre habrá otro número racional
Es interesante pensar en esta propiedad, que fue muy discutida por los pueblos antiguos, convirtiéndose en una paradoja. Al elegir dos números racionales, siempre habrá un número entre ellos.
Ejemplo:
Entre 1 y 2, hay 1,5; entre 1 y 1,5, hay 1,25; entre el 1 y el 1,25, está el 1,125 y así sucesivamente. Por mucho que elija dos números racionales con muy poca diferencia entre ellos, siempre es posible encontrar un número racional entre ellos. Esta propiedad hace imposible definir sucesor y predecesor en números racionales.
Las cuatro operaciones sobre el conjunto de números racionales están cerradas
Decimos que el plató está cerrado por suma, por ejemplo, si la suma de dos números racionales siempre genera otro número racional como respuesta. Esto es lo que sucede con las cuatro operaciones en Q.
LA suma, resta, división y multiplicación entre dos números racionales siempre resultará en un número racional. De hecho, incluso el potenciación de un número racional siempre generará un número racional como respuesta.
El conjunto de números racionales no está cerrado al Radiación. Así, metrodado que 2 es un número racional, la raíz cuadrada de 2 es un numero irracional.
Vea también: Fracciones equivalentes: fracciones que representan la misma cantidad
Subconjuntos de números racionales
Sabemos cómo subconjuntos o relación de inclusión los conjuntos formados por elementos que pertenecen al conjunto de números racionales. Hay varios subconjuntos posibles, como el conjunto de números enteros o natural, ya que todo número entero es racional, así como todo número natural es racional.
Ejemplo:
Conjunto de enteros: Z = {… -3, -2, -1, 0.1, 2, 3,…}.
Cuando eso sucede, decimos que Z ⸦ Q (Dice: Z está contenido en Q o el conjunto de números enteros está contenido en el conjunto de números racionales).
Hay algunos símbolos que son esenciales para crear subconjuntos de Q, son: +, - y *, que significan, respectivamente, positivo, negativo y no nulo.
Ejemplos:
Q * → (lee: conjunto de números racionales distintos de cero).
Q+ → (lee: conjunto de números racionales positivos).
Q- → (lee: conjunto de números racionales negativos).
Q*+ → (lee: conjunto de números racionales positivos y distintos de cero).
Q*- → (lea: conjunto de números racionales negativos y distintos de cero).
Tenga en cuenta que todos estos conjuntos son subconjuntos de Q, ya que todos los elementos pertenecen al conjunto de números racionales. Además de los conjuntos presentados, podemos trabajar con varios subconjuntos en Q, como el conjunto formado por números impares, o primos, o pares, finalmente, hay varias y varias posibilidades de subconjuntos.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm