Sabemos cómo polinomio una expresión que indica la suma algebraica de monomios que no son similares, es decir, el polinomio es uno expresión algebraica entre monomios. Monomium es un término algebraico que tiene un coeficiente y una parte literal.
Cuando existen términos similares entre los polinomios, es posible realizar la reducción de sus plazos además y / o resta de dos polinomios. También es posible multiplicar dos polinomios mediante la propiedad distributiva. La división se realiza mediante el método de claves.
Lea también: Ecuación polinomial: ecuación caracterizada por tener un polinomio igual a 0
¿Qué son los monomios?
Para comprender qué es un polinomio, es importante comprender primero el significado de un monomio. Una expresión algebraica se conoce como monomio cuando tiene números y letras y sus exponentes separados solo por multiplicación. El número se conoce como coeficiente y las letras y sus exponentes se conocen como parte literal.
Ejemplos de:
2x² → 2 es el coeficiente; x² es la parte literal.
√5ax → √5 es el coeficiente; ax es la parte literal.
b³yz² → 1 es el coeficiente; b³yz² es la parte literal.
¿Qué es un polinomio?
Un polinomio no es más que el suma algebraica de monomios, es decir, son más monomios separados por suma o resta.
Ejemplos de:
ax² + por + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
En términos generales, un polinomio puede tener varios términos, se representa algebraicamente por:
LaNoXNo + el(n-1) X(n-1) +… + El2x² + a1x + a
Vea también: ¿Cuáles son las clases de polinomios?
grado de un polinomio
Para encontrar el grado del polinomio, sepárelo en dos casos, cuando tiene una sola variable y cuando tiene más variables. El grado del polinomio viene dado por el grado del mayor de sus monomios en ambos casos.
Es bastante común trabajar con un polinomio que solo tiene una variable. Cuando eso pasa, O mayor monomio la licenciatura que indica el grado del polinomio es igual al mayor exponente de la variable:
Ejemplos de:
Polinomios de variable única
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → observe que la variable es x, y el mayor exponente que tiene es 3, por lo que este es un polinomio de grado 3.
b) 2 años5 + 4y² - 2y + 8 → la variable es y, y el mayor exponente es 5, por lo que este es un polinomio de grado 5.
Cuando el polinomio tiene más de una variable en un monomio, para encontrar el grado de este término, es necesario agregar-Si el grado de los exponentes de cada una de las variables. Así, el grado del polinomio, en este caso, sigue siendo igual al grado del monomio más grande, pero es necesario tener cuidado de sumar los exponentes de las variables de cada monomio.
Ejemplos de:
a) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Analizando la parte literal de cada término, tenemos que:
xy → grado 2 (1 + 1)
x²y³ → grado 5 (2 + 3)
y³ → grado 3
Tenga en cuenta que el término más grande tiene grado 5, por lo que este es un polinomio de grado 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analizando la parte literal de cada monomio:
a²b → grado 3 (2 + 1)
ab² → grado 2 (1 + 1)
a²b² → grado 4 (2 + 2)
Por tanto, el polinomio tiene grado 4.
Agregar polinomios
Para la suma entre dos polinomios, llevemos a cabo el reducción de monomios similares. Dos monomios son similares si tienen partes literales iguales. Cuando esto sucede, es posible simplificar el polinomio.
Ejemplo:
Sea P (x) = 2x² + 4x + 3 y Q (x) = 4x² - 2x + 4. Encuentre el valor de P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Encontrar términos similares (que tienen las mismas partes literales):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Ahora agreguemos los monomios similares:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Resta de polinomios
La resta no es muy diferente de la suma. El detalle importante es que primero necesitamos escribir el polinomio opuesto antes de realizar la simplificación de términos similares.
Ejemplo:
Datos: P (x) = 2x² + 4x + 3 y Q (x) = 4x² - 2x + 4. Calcule P (x) - Q (x).
El polinomio -Q (x) es el opuesto de Q (x), para encontrar el opuesto de Q (x), simplemente invierta el signo de cada uno de sus términos, entonces tenemos que:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Luego calcularemos:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Simplificando términos similares, tenemos:
(2-4) x² + (4 + 2) x + (3-4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Multiplicación polinomial
Para realizar la multiplicación de dos polinomios, usamos el conocido Propiedad distributiva entre los dos polinomios, operando la multiplicación de los monomios del primer polinomio por los del segundo.
Ejemplo:
Sea P (x) = 2a² + by Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Aplicando la propiedad distributiva, tendremos:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2do5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Ahora, si existen, podemos simplificar términos similares:
2do5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Nótese que los únicos monomios similares están resaltados en naranja, simplificando entre ellos, tendremos el siguiente polinomio como respuesta:
2do5 + (6 + 1) ab + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2do5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
También acceda a: ¿Cómo hacer una multiplicación algebraica de fracciones?
división polinomial
realizar el división de polinomios puede ser bastante laborioso, usamos lo que se llama método de llaves, pero existen varios métodos para hacerlo. La división de dos polinomios solo es posible si el grado del divisor es menor. Al dividir el polinomio P (x) por el polinomio D (x), buscamos un polinomio Q (x), tal que:
Entonces, por el algoritmo de división, tenemos: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → dividendo
D (x) → divisor
Q (x) → cociente
R (x) → resto
Al operar la división, el polinomio P (x) es divisible por el polinomio D (x) si el resto es cero.
Ejemplo:
Operemos dividiendo el polinomio P (x) = 15x² + 11x + 2 por el polinomio D (x) = 3x + 1.
Queremos compartir:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1er paso: dividimos el primer monomio del dividendo con el primero del divisor:
15x²: 3x = 5x
2do paso: multiplicamos 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x, y restamos el resultado de P (x). Para realizar la resta, es necesario invertir los signos del resultado de la multiplicación, encontrando el polinomio:
3er paso: realizamos la división del primer término del resultado de la resta por el primer término del divisor:
6x: 3x = 2
4to paso: entonces tenemos (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Por tanto, tenemos que:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Lea también: Dispositivo práctico de Briot-Ruffini: división de polinomios
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - ¿Cuál debe ser el valor de m para que el polinomio P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m tenga grado 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Resolución
Alternativa A
Para que P (x) tenga grado 2, el coeficiente de x³ debe ser igual a cero y el coeficiente de x² debe ser diferente de cero.
Entonces haremos:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Por otro lado, tenemos que m + 3 ≠ 0.
Entonces, m ≠ -3.
Así, tenemos como solución de la primera ecuación que m = 3 om = -3, pero para la segunda, tenemos m ≠ -3, entonces la única solución que hace que P (x) tenga grado 2 es: m = 3.
Pregunta 2 - (IFMA 2017) El perímetro de la figura se puede escribir mediante el polinomio:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Resolución
Alternativa D
Por la imagen, cuando analizamos la longitud y el ancho dados, sabemos que el perímetro es la suma de todos los lados. Dado que la longitud y la altura son iguales, simplemente multiplicamos la suma de los polinomios dados por 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas