O volumen de cono truncado es el espacio ocupado por este cuerpo redondo. Dado que la sección transversal de un cono de radio R produce un cono más pequeño de radio r y un cono truncado, los volúmenes de estos tres sólidos están relacionados.
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Resumen sobre el volumen del cono truncado
- Un cono de radio R cortado transversalmente a una altura H del plano base se divide en dos sólidos geométricos: un cono de radio r Es un cono de tronco.
- Los elementos principales del cono truncado son la altura. H, la base más pequeña del radio r y mayor base de radio R.
- El volumen del cono truncado es la diferencia entre el volumen del cono de radio R y el volumen del cono de radio r.
- La fórmula para el volumen del cono truncado es:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Video lección sobre el volumen del cono truncado.
¿Cuáles son los elementos del cono truncado?
Los elementos de un cono truncado formado a partir de la sección de un cono recto de radio R son:
- base menor - círculo de radio r, obtenido en la sección del cono de radio R .
- base más grande – base circular del cono de radio R .
- Altura (h) – distancia entre los planos de las bases.
- Generatriz – segmento con extremos en las circunferencias que delimitan las bases.
A la imagen de abajo presenta los elementos de un cono truncado. Tenga en cuenta que las bases menores y mayores son paralelas.
Fórmula del volumen del tronco del cono
A continuación, deduzcamos la fórmula para el volumen de un tronco de altura H, radio base más pequeño r y el radio de la base más grande R .
Considere que la sección transversal de un cono de radio R y altura H1 produce dos sólidos:
- un cono de relámpago r y altura h2 Es
- un cono de tronco alto H .
darse cuenta de que \(H_1=H_2+h\).
El volumen del cono de radio R (que llamaremos cono mayor) estará representado por VR; el volumen del cono de radio r (que llamaremos el cono menor), por Vr; y el volumen del cono truncado por Vt. Por lo tanto:
\(V_R=V_r+V_t\)
Nota:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Observación: VR y Vr son volúmenes de conos. Para revisar este asunto, haga clic en aquí.
Así:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
El término H2 corresponde a la altura del cono más pequeño. Relacionando las alturas de los conos con los respectivos radios de las bases, podemos obtener una fórmula para el volumen del tronco que depende únicamente de los elementos del tronco (R, r Es H).
Asociando el radio y la altura del cono mayor (R y H1 ) con el radio y la altura del cono más pequeño (r y H2), tenemos la siguiente proporción:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Pronto, podemos reescribir el volumen del maletero Vt como sigue:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Así, La fórmula para el volumen del cono truncado es:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Lea también: Fórmulas de volumen de varios sólidos geométricos.
¿Cómo calcular el volumen del cono truncado?
Para calcular el volumen de un cono truncado, simplemente sustituya las medidas de la altura, el radio de la base más pequeña y el radio de la base más grande en la fórmula.
- Ejemplo: ¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, de un cono truncado en el que el radio de la base mayor es R = 5 cm, el radio de la base menor es r = 3 y la altura es h = 2 cm? (Utilice π=3 )
Sustituyendo los datos en la formula tenemos:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Ejercicios resueltos sobre el volumen del cono truncado
Pregunta 1
Una olla tiene la forma de un cono truncado con el radio de base más grande R = 8 cm, el radio de base más pequeño r = 4 y la altura h = 2 centímetros El volumen de esta olla, en cm³, es:
a) 48pi
b) 64pi
c) 112pi
d) 448pi
e) 1344pi
Resolución
Sustituyendo los datos en la formula tenemos:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternativa D
Pregunta 2
(Enem 2021) Una persona compró una taza para beber sopa, como se ilustra.
Se sabe que 1 cm³ = 1 mL y que la parte superior de la taza es un círculo de diámetro (D) que mide 10 cm, y la base es un círculo de diámetro (d) que mide 8 cm.
Además, se sabe que la altura (h) de esta taza mide 12 cm (distancia entre el centro de los círculos superior e inferior).
Use 3 como una aproximación para π.
¿Cuál es la capacidad volumétrica, en mililitros, de esta taza?
a) 216
segundo) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Resolución
La forma de la taza es un tronco de cono en el que la parte superior es la base más grande. Además, R.=5, r = 4cm y H = 12. Pronto:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Como 1 cm³ = 1 mL, tenemos 732 cm³ = 732 mL.
Alternativa C
Fuentes:
Dante, l. r Matemáticas: contexto y aplicaciones - Escuela secundaria. 3. edición Sao Paulo: Ática, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. No. Fundamentos de Matemáticas Elementales, Vol 10: Geometría Espacial - Posición y Métrica. 7 edición Santos: Actual, 2013.
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
