A matriz de identidad es un tipo especial de sede. Conocemos como matriz identidad Inorte la matriz cuadrada de orden n que tiene todos los términos de la diagonal iguales a 1 y los términos que no pertenecen a la diagonal principal iguales a 0. La matriz identidad se considera el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si multiplicamos una matriz METRO por la matriz identidad, encontramos como resultado la propia matriz METRO.
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Resumen sobre matriz de identidad
La matriz identidad es la matriz cuadrada con elementos en la diagonal principal iguales a 1 y con los demás elementos iguales a 0.
Hay matrices identidad de diferentes órdenes. Representamos la matriz identidad de orden norte por yo norte.
La matriz identidad es el elemento neutro de la multiplicación de matrices, es decir, \( A\cdot I_n=A.\)
El producto de una matriz cuadrada y su matriz inversa es la matriz identidad.
¿Qué es la matriz de identidad?
La matriz identidad es una
tipo especial de matriz cuadrada. Una matriz cuadrada se conoce como matriz identidad si tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1 y todos los demás elementos iguales a 0. Entonces, en cada matriz identidad:
➝ Tipos de matrices de identidad
Hay matrices identidad de diferentes órdenes. el orden norte está representado por yonorte. Veamos a continuación algunas matrices de otros órdenes.
Orden 1 matriz identidad:
\(I_1=\izquierda[1\derecha]\)
Matriz identidad de orden 2:
\(I_2=\left[\begin{matriz}1&0\\0&1\\\end{matriz}\right]\)
Matriz identidad de orden 3:
\(I_3=\left[\begin{matriz}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matriz}\right]\)
Matriz identidad de orden 4:
\(I_4=\left[\begin{matriz}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matriz}\right]\)
Matriz identidad de orden 5:
\(I_5=\left[\begin{matriz}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matriz}\right]\)
Sucesivamente, podemos escribir matrices identidad de diferente orden.
Propiedades de la matriz de identidad
La matriz identidad tiene una propiedad importante, ya que es el elemento neutro de la multiplicación entre las matrices. Esto significa que toda matriz multiplicada por la matriz identidad es igual a si misma. Así, dada la matriz M de orden norte,tenemos:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Otra propiedad importante de la matriz identidad es que la producto de una matriz cuadrada y su matriz inversa es la matriz identidad. Dada una matriz cuadrada M de orden norte, el producto de M por su inversa viene dado por:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
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Multiplicación de la matriz identidad
Cuando multiplicamos una matriz M por la matriz identidad de orden norte, obtenemos como resultado la matriz M. Veamos, a continuación, un ejemplo del producto de la matriz M de orden 2 por la matriz identidad de orden 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matriz}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matriz}\right) \) Es \(I_n=\left(\begin{matriz}1&0\\0&1\\\end{matriz}\right)\)
Suponiendo que:
\(A\cdot I_n=B\)
Tenemos:
\(B\ =\left(\begin{matriz}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matriz}\right)\)
Entonces el producto de A por \(En\) será:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Tenga en cuenta que los términos de la matriz B son idénticos a los términos de la matriz A, es decir:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matriz}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matriz}\right]=A\)
Ejemplo:
Ser METRO La matriz \(M=\ \left[\begin{matriz}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matriz}\right]\), calcule el producto entre la matriz METRO y la matriz \(I_3\).
Resolución:
Realizando la multiplicación tenemos:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matriz}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matriz}\right]\cdot\left[\begin{matriz}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{matriz}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matriz}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\izquierda(-2\derecha)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\izquierda(-2\derecha)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matriz}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matriz}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matriz}\right]\)
Ejercicios resueltos de matriz identidad
Pregunta 1
Existe una matriz cuadrada de orden 3 que está definida por \(a_{ij}=1 \) cuando \(i=j\) Es \(a_{ij}=0\) Es cuando \(i\neq j\). Esta matriz es como:
A) \( \left[\begin{matriz}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matriz}\right]\)
B) \( \left[\begin{matriz}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matriz}\right]\)
W) \( \left[\begin{matriz}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matriz}\right]\)
D) \( \left[\begin{matriz}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matriz}\right]\)
Y) \( \left[\begin{matriz}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matriz}\right]\)
Resolución:
Alternativa D
Analizando la matriz tenemos:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Entonces, la matriz es igual a:
\(\left[\begin{matriz}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matriz}\right]\)
Pregunta 2
(UEMG) Si la matriz inversa de \(A=\left[\begin{matriz}2&3\\3&x\\\end{matriz}\right]\) é \( \left[\begin{matriz}5&-3\\-3&2\\\end{matriz}\right]\), el valor de x es:
A) 5
segundo) 6
C) 7
D) 9
Resolución:
Alternativa A
Multiplicando las matrices, nos damos cuenta de que su producto es igual a la matriz identidad. Calculando el producto de la segunda fila de la matriz por la primera columna de su inversa, tenemos:
\(3\cdot5+x\cdot\izquierda(-3\derecha)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Por Raúl Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
