A casquete esférico y el sólido geométrico obtenido cuando una esfera es interceptada por un plano, dividiéndola en dos sólidos geométricos. El casquete esférico se considera un cuerpo redondo porque, al igual que la esfera, tiene forma redondeada. Para calcular el área y el volumen de un casquete esférico, usamos fórmulas específicas.
Lea también: Tronco de cono: el sólido geométrico formado por la parte inferior del cono cuando se hace una sección paralela a la base.
Resumen sobre casquete esférico
- El casquete esférico es un sólido geométrico que se obtiene al dividir la esfera por un plano.
- Los elementos principales del casquete esférico son el radio de la esfera, el radio del casquete esférico y la altura del casquete esférico.
- El casquete esférico no es un poliedro, sino un cuerpo redondo.
- Si el plano divide la esfera por la mitad, el casquete esférico forma un hemisferio.
- Es posible calcular el radio del casquete esférico utilizando el teorema de Pitágoras, organizado de la siguiente manera:
\(\izquierda (R-h\derecha)^2+r^2=R^2\)
- El área del casquete esférico se puede calcular mediante la fórmula:
\(A=2\pi rh\ \)
- El volumen del casquete esférico se puede calcular con la siguiente fórmula:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
¿Qué es un casquete esférico?
casquete esférico es el sólido geométrico obtenido cuando una sección del pelota común departamento. Cuando cortamos la esfera con un plano, dividimos esta esfera en dos casquetes esféricos. Cuando dividimos la esfera por la mitad, el casquete esférico se conoce como hemisferio.
Elementos de casquete esférico
En un casquete esférico, los elementos principales son el radio de la esfera, el radio del casquete esférico y la altura del casquete esférico.
- R → radio de la esfera.
- r → radio del casquete esférico.
- h → altura del casquete esférico.
¿El casquete esférico es un poliedro o un cuerpo redondo?
Podemos ver que la tapa es un sólido geométrico. Como tiene una base circular y una superficie redondeada, El casquete esférico se considera un cuerpo redondo, que también se conoce como el sólido de revolución. Vale la pena mencionar que el poliedro tiene caras formadas por polígonos, lo que no es el caso del casquete esférico, que tiene una base formada por un círculo.
¿Cómo calcular el radio del casquete esférico?
Para calcular la longitud del radio del casquete esférico, es necesario saber la longitud de la altura h del casquete esférico y la longitud del radio R de la esfera, porque, como podemos ver en la siguiente imagen, existe una relación pitagórica.
Tenga en cuenta que tenemos un triángulo rectángulo, el triángulo OO'B, con hipotenusa que mide R y catetos que miden R – h y r. Aplicando el Teorema de pitágoras, tenemos que:
\(\izquierda (R-h\derecha)^2+r^2=R^2\)
Ejemplo:
¿Cuál es el radio de un casquete esférico que tiene una altura de 2 cm, dado que el radio de la esfera es de 5 cm?
Resolución:
Aplicando la relación pitagórica:
\(\izquierda (R-h\derecha)^2+r^2=R^2\)
\(\izquierda (5-2\derecha)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\raíz cuadrada{16}\)
\(r=4\)
¿Cómo calcular el área del casquete esférico?
Para calcular el área del casquete esférico, es necesario saber la medida de la longitud del radio R de la esfera y la altura h de la tapa. La fórmula utilizada para calcular el área superficial es:
\(A=2\pi Rh\)
- R → radio de la esfera.
- h → altura del casquete esférico.
Ejemplo:
Se obtuvo un casquete esférico a partir de una esfera que tiene un radio de 6 cm y una altura de 4 cm. Entonces, ¿cuál es el área de superficie de este casquete esférico?
Resolución:
Calculando el área del casquete esférico, tenemos:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\cm^2\)
¿Cómo calcular el volumen del casquete esférico?
El volumen del casquete esférico. se puede calcular de dos maneras. La primera fórmula depende del radio R de la esfera y la altura h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Ejemplo:
¿Cuál es el volumen de un casquete esférico obtenido de una esfera de 8 cm de radio cuya altura del casquete esférico es de 6 cm?
Resolución:
Como conocemos el valor de R y h, usaremos la primera fórmula.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\izquierda (3\cdot8-6\derecha)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\izquierda (24-6\derecha)\)
\(V=12\pi\izquierda (18\derecha)\)
\(V=216\pi\cm^3\)
La otra fórmula del volumen del casquete esférico tiene en cuenta el radio del casquete esférico r y la altura del casquete h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\izquierda (3r^2+h^2\derecha)\)
Ejemplo:
¿Cuál es el volumen de un casquete esférico que tiene un radio de 10 cm y una altura de 4 cm?
Resolución:
En este caso, tenemos r = 10 cm y h = 4 cm. Como sabemos el valor del radio del casquete esférico y la altura, utilizaremos la segunda fórmula:
\(V=\frac{\pi h}{6}\izquierda (3r^2+h^2\derecha)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\izquierda (3{\cdot10}^2+4^2\derecha)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\izquierda (3\cdot100+16\derecha)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\izquierda (300+16\derecha)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\izquierda (316\derecha)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\aprox. 210,7\ \pi\ cm³\)
Vea también: Tronco de pirámide: el sólido geométrico formado por la parte inferior de la pirámide cuando se toma una sección transversal.
Ejercicios resueltos de casquete esférico
Pregunta 1
(Enem) Para decorar la mesa de una fiesta infantil, un chef utilizará un melón esférico de 10 cm de diámetro, que le servirá de soporte para ensartar varios dulces. Quitará al melón un casquete esférico, como se muestra en la figura, y para garantizar la estabilidad de este soporte, dificultando que el melón ruede sobre la mesa, el chef cortará de modo que el radio r de la sección de corte circular sea al menos menos 3 cm. Por otro lado, el jefe querrá tener la mayor área posible en la región donde se publicarán los dulces.
Para lograr todos sus objetivos, el chef debe cortar la parte superior del melón a una altura h, en centímetros, igual a
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
mi) 5
Resolución:
Alternativa C
Sabemos que el diámetro de la esfera es de 10 cm, por lo que su radio es de 5 cm, entonces OB = 5 cm.
Si el radio de la sección es exactamente de 3 cm, tenemos:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
OA = \(\sqrt{16}\)
OA = 4 cm
Por lo tanto:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
Pregunta 2
Un casquete esférico tiene un área de 144π cm². Sabiendo que tiene un radio de 9 cm, la altura de este casquete esférico es:
A) 8cm
B) 10cm
c) 14cm
D) 16 cm
mi) 22cm
Resolución:
Alternativa A
Lo sabemos:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
La altura es de 8 cm.
Por Raúl Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm