En una función de primer grado tenemos que la tasa de cambio viene dada por el coeficiente a. Tenemos que una función de primer grado respeta la siguiente ley de formación f (x) = ax + b, donde a y b son números reales y b ≠ 0. La tasa de cambio de la función viene dada por la siguiente expresión:
Ejemplo 1
Hagamos una demostración para demostrar que la tasa de cambio de la función f (x) = 2x + 3 está dada por 2.
f (x) = 2x + 3
f (x + h) = 2 * (x + h) + 3 → f (x + h) = 2x + 2h + 3 (h ≠ 0)
Entonces tenemos que:
f (x + h) - f (x) = 2x + 2h + 3 - (2x + 3)
f (x + h) - f (x) = 2x + 2h + 3 - 2x - 3
f (x + h) - f (x) = 2h
Luego:
Tenga en cuenta que después de la demostración encontramos que la tasa de cambio se puede calcular directamente identificando el valor del coeficiente a en la función dada. Por ejemplo, en las siguientes funciones, la tasa de cambio viene dada por:
a) f (x) = –5x + 10, tasa de cambio a = –5
b) f (x) = 10x + 52, tasa de cambio a = 10
c) f (x) = 0.2x + 0.03, tasa de cambio a = 0.2
d) f (x) = –15x - 12, tasa de cambio a = –15
Ejemplo 2
Vea una demostración más que demuestra que la tasa de cambio de una función viene dada por la pendiente de la línea. La función dada es la siguiente: f (x) = –0,3x + 6.
f (x) = -0,3x + 6
f (x + h) = –0,3 (x + h) + 6 → f (x + h) = –0,3x –0,3h + 6
f (x + h) - f (x) = –0,3x –0,3h + 6 - (–0,3x + 6)
f (x + h) - f (x) = –0,3x –0,3h + 6 + 0,3x - 6
f (x + h) - f (x) = –0,3 h
La tasa de cambio de una función de primer grado se determina en los cursos de educación superior mediante el desarrollo de la derivada de una función. Para tal aplicación, necesitamos estudiar algunos fundamentos que involucran nociones de Cálculo I. Pero demostremos una situación más simple que involucra la derivada de una función. Para esto, considere las siguientes declaraciones:
La derivada de un valor constante es igual a cero. Por ejemplo:
f (x) = 2 → f ’(x) = 0 (leer línea f)
La derivada de una potencia viene dada por la expresión:
f (x) = x² → f ’(x) = 2 * x2–1 → f ’(x) = 2x
f (x) = 2x³ - 2 → f ’(x) = 3 * 2x3–1 → f ’(x) = 6x²
Por lo tanto, para determinar la derivada (tasa de cambio) de una función de primer grado, simplemente aplicamos las dos definiciones que se muestran arriba. Mirar:
f (x) = 2x - 6 → f ’(x) = 1 * 2x1–1 → f ’(x) = 2x0 → f ’(x) = 2
f (x) = –3x + 7 → f ’(x) = –3
por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Función de 1er grado - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/taxa-variacao-funcao-1-o-grau.htm
