Una aplicación importante de las matemáticas en la física viene dada por la tasa de variación de la función de segundo grado, que es vinculado a un movimiento uniformemente variado, es decir, situaciones en las que la velocidad varía según el aceleración. La función de segundo grado viene dada por la expresión ax² + bx + c = 0 y su tasa de cambio en un intervalo (x, x + h), con x y x + h Є R y h ≠ 0, está dada por la expresión:
En el caso de la función de 2º grado, tenemos:
f (x + h) = a (x + h) ² + b (x + h) + c = a (x² + 2xh + h²) + bx + bh + c = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c
Luego:
f (x + h) - f (x) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c - (ax² + bx + c) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c - ax² - bx - c = 2axh + ah² + bh
Entonces tenemos:
De acuerdo con la expresión anterior, cuando h se acerca a cero, la tasa de cambio se acercará 2ax + b. De esta forma, podemos expresar esta situación a través de una gráfica, que demuestra claramente que la tasa de variación de la función cuadrática, cuando h tiende a cero, es la pendiente de la recta tangente a la parábola.
y = ax² + bx + c en punto (X0y0).
La pendiente de la recta tangente t en el punto (x0aa0) es dado por 2x0 + b.
Ejemplo
Un movimiento uniformemente variado viene dado por la expresión f (t) = en² + bt + c, que da la posición de un objeto en un momento determinado t. En la expresión, a es la aceleración, t es el tiempo, b es la velocidad inicial y c es la posición inicial del objeto.
Para f (t) = at² + bt + c:
f (t + h) = a (t + h) ² + b (t + h) + c = a (t² + 2th + h²) + bt + bh + c = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c
f (t + h) - f (t) = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c - at² - bt - c = 2ath + ah² + bh
Cuando h se acerca a cero, el valor de velocidad promedio se acercará 2at + b. Por tanto, la expresión que determina la velocidad de este objeto a partir de la expresión del espacio en función del tiempo es:
v (t) = 2 en + b
por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Roles - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/taxa-variacao-funcao-2-grau.htm
