En el estudio de los círculos, un concepto importante a estudiar es el de líneas tangentes a un círculo. Para realizar este estudio es necesario comprender las posiciones relativas de un punto en relación a un círculo. Si no ha estudiado algo relacionado con este tema, consulte el artículo. Posiciones relativas entre un punto y un círculo.
Observando la posición de un punto en relación a un círculo, podemos concluir algunos hechos relacionados con las rectas tangentes. Se sabe que hay tres posiciones relativas de un punto a un círculo. Para cada posición de este punto, podemos concluir algo sobre la recta tangente que pasa por ese punto.
• Punto dentro del círculo: no puede trazar una línea tangente a través de este punto.
• Punto perteneciente al círculo: a través de este punto solo podemos tener una recta tangente, ya que es el punto de tangencia.
• Punto fuera del círculo: desde este punto podemos dibujar dos líneas tangentes al círculo.
Por lo tanto, para determinar la ecuación de la recta tangente a un círculo que pasa por un punto dado, debemos necesariamente determinar la posición relativa de ese punto. Esta posición depende de la distancia desde el punto hasta el centro del círculo.
Debemos recordar algunos hechos importantes sobre la geometría analítica:
• La distancia más corta de un punto a una línea es un segmento perpendicular a esta línea;
• La recta tangente siempre será perpendicular al rayo en su punto tangente.
Relacionando los dos hechos anteriores, se puede afirmar que la distancia desde la recta tangente al centro debe ser igual al radio.
Por tanto, para determinar la ecuación de la recta tangente, debemos analizar la posición del punto que dibujaremos a la línea y con eso calcular la distancia de la línea que contiene este punto en relación al centro de la circunferencia.
Para una mejor comprensión de todos estos conceptos, trabajaremos con ejemplos que necesitan estas reflexiones.
1) Determine la (s) ecuación (es) de la (s) recta (s) tangente (s) al círculo dado, trazada por el punto P.
a) eq. circunferencia: x2+ y2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Con eso, podemos extraer la información necesaria para nuestro problema:
C (3, 4), r = 5.
Ahora debemos encontrar la posición relativa del punto P (0,0):
Por tanto, el punto P es el punto de tangencia.
Determinemos la ecuación de la línea recta que pasa por el punto P.
Para determinar realmente la ecuación de la línea, aún necesitamos averiguar cuál es la pendiente de esta línea. Uno de los hechos que vimos al principio de este artículo fue la perpendicularidad de la línea tangente al radio del círculo. El punto P es un punto de tangencia, por lo que la pendiente de la línea que pasa por el punto P y el centro debe ser perpendicular a la línea tangente. Para ello, tenemos una relación entre pendientes perpendiculares.
En otras palabras, el producto de las pendientes de las líneas perpendiculares es igual a -1.
Para determinar la pendiente del segmento de PC, debemos usar la siguiente expresión:
Con eso, obtenemos la ecuación de la recta tangente:
Otra forma de determinar el valor de m sería calcular la distancia desde el centro a la línea. Esta distancia es igual al radio. Veamos:
Cuando el punto está fuera del círculo, debemos encontrar el punto de tangencia usando la distancia desde el centro del círculo al recta tangente, por lo que determinaremos el valor del coeficiente angular de la recta tangente, que, a su vez, determinará la ecuación de la recta tangente.
Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
