Progresiones: que son, tipos, fórmulas, ejemplos

Sabemos cómo progresiones casos particulares de secuencias numéricas. Hay dos casos de progresiones:

• progresión aritmética

• progresión geométrica

Para ser una progresión, necesitamos analizar las características de la secuencia por si existe lo que llamamos una razón. cuando la progresión es aritmética, la razón no es más que una constante que agregamos a un término para encontrar su sucesor en la secuencia; ahora, cuando se trabaja con una progresión geométrico, la razón tiene una función similar, solo que en este caso la razón es el término constante por el cual multiplicamos un término en la secuencia para encontrar su sucesor.

Devido al comportamiento predecible de una progresión, existen fórmulas específicas para encontrar cualquier término en estas secuencias, y también es posible desarrollar una fórmula para cada uno de ellos (es decir, uno para la progresión aritmética y otro para la progresión geométrica) con el fin de calcular la suma DeNo primeros términos de esta progresión.

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La cantidad de frijoles por cosecha se comporta como una progresión geométrica

secuencia numérica

Para comprender qué son las progresiones, primero debemos comprender qué son secuencias numéricas. Como sugiere el nombre, conocemos la secuencia numérica a conjunto de números que respetan un orden, estén bien definidos o no. A diferencia del conjuntos numéricos donde el orden no importa, en una secuencia numérica, el orden es esencial, por ejemplo:

La secuencia (1, 2, 3, 4, 5) es diferente de (5, 4, 3, 2, 1), que es diferente de la secuencia (1, 5, 4, 3, 2). Incluso si los elementos son los mismos, como el orden es diferente, tenemos diferentes secuencias.

Ejemplos de:

Podemos escribir secuencias cuyas formaciones sean fáciles de ver:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → secuencia de números pares menores o iguales que 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → secuencia regresiva de números impares del 17 al 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → conocido como secuencia Fibonacci.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…) → aunque no es posible describir esta secuencia como las demás, es fácil predecir cuáles serán sus próximos términos.

En otros casos, las secuencias pueden tener total aleatoriedad en sus valores, en cualquier caso, para ser una secuencia, lo que importa es tener un conjunto de valores ordenados.

a 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Por mucho que no sea posible predecir quiénes son los siguientes términos en la letra b, todavía estamos trabajando con una secuela.

De forma general, las cadenas siempre se representan entre paréntesis (), de la siguiente manera:

(La₁, a₂,La₃, a₄,La₅, a₆, a₇, a₈ …) → secuencia infinita

(La₁, a₂,La₃, a₄,La₅, a₆, a₇, a₈ … a_No) → secuencia finita

En ambos tenemos la siguiente representación:

La₁ → primer trimestre

La₂ → segundo término

La₃ → tercer término

.

.

.

La_No → enésimo término

Observación: Es de gran importancia que, al representar una secuencia, los datos se incluyan entre paréntesis. La notación de secuencia se confunde a menudo con la notación de conjuntos. Un conjunto se representa entre llaves, y en el conjunto el orden no es importante, lo que marca la diferencia en este caso.

(1, 2, 3, 4, 5) → secuencia

{1, 2, 3, 4, 5} → establecer

Hay casos particulares de secuencia que se conocen como progresiones.

Vea también: ¿Cuál es el principio fundamental de contar?

¿Qué son las progresiones?

Una secuencia se define como una progresión cuando tiene un regularidad de un trimestre a otro, conocido como razón. Hay dos casos de progresión, progresión aritmética y progresión geométrica. Para saber cómo diferenciar cada uno de ellos, necesitamos entender cuál es el motivo de una progresión y cómo ese motivo interactúa con los términos de la secuencia.

Cuando, de un término a otro en la secuencia, tengo un suma constante, esta secuencia se define como una progresión, y en este caso es una progresión aritmética. Este valor que sumamos constantemente se conoce como ratio. El otro caso, es decir, cuando la secuencia es una progresión geométrica, de un término a otro hay un multiplicación por un valor constante. De manera análoga, este valor es la relación de la progresión geométrica.

Ejemplos de:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → observe que siempre estamos sumando 3 de un término al otro, por lo que tenemos una progresión aritmética de razón igual a 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000…) → en este caso siempre estamos multiplicando por 10 de un término a otro, se trata de una progresión geométrica de razón 10.

c) (0, 2, 8, 26…) → en el último caso, solo hay una secuencia. Para encontrar el siguiente término, multiplicamos el término por 3 y sumamos 2. En este caso, aunque hay una regularidad para encontrar los siguientes términos, es solo una secuencia, no una progresión aritmética o geométrica.

progresión aritmética

Cuando trabajamos con secuencias numéricas, aquellas secuencias en las que podemos predecir sus siguientes términos son bastante recurrentes. Para que esta secuencia se clasifique como progresión aritmética, debe haber un razón una. Desde el primer término, el siguiente término es construido por la suma del término anterior con la razón r.

Ejemplos de:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Esta es una secuencia que se puede clasificar como progresión aritmética, porque la razón r = 3 y el primer término es 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Esta secuencia es una progresión aritmética con buena razón. r = -5, y su primer término es 7.

• Términos de una PA

En muchos casos, nuestro interés es encontrar un término específico en la progresión, sin tener que escribir toda la secuencia. Conociendo el valor del primer término y la razón, es posible encontrar el valor de cualquier término en una progresión aritmética. Para encontrar los términos de una progresión arimética, usamos la fórmula:

La_No = el₁+ (n - 1) r

Ejemplo:

Encuentre el término 25 de un AP cuya razón es 3 y el primer término es 12.

Datos r = 3, el₁ = 12. Queremos encontrar el término número 25, es decir, n = 25.

La_No = el₁+ (n - 1) r

La₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

La₂₅ = 12 + 24 · 3

La₂₅ = 12 + 72

La₂₅ = 84

• Término general de un P.A.

La fórmula del término general es forma de simplificar la fórmula de un término AP para encontrar cualquier término de progresión más rápidamente. Una vez conocido el primer término y la razón, basta con sustituir en la fórmula un término de un P.A., para encontrar el término general de la progresión aritmética, que depende únicamente del valor de No.

Ejemplo:

Encuentre el término general de un P.A. que tiene r = 3 y el₁ = 2.

La_No = 2 + (n -1) r

La_No = 2 + (n -1) 3

La_No = 2 + 3n - 3

La_No = 2n - 1

Este es el término general de un P.A., que sirve para encontrar cualquier término en esta progresión.

• Suma de términos de un PA

LA suma de términos de un PA Sería bastante laborioso si fuera necesario encontrar cada uno de sus términos y sumarlos. Existe una fórmula para calcular la suma de todos No primeros términos de una progresión aritmética:

Ejemplo:

Calcula la suma de todos los números impares del 1 al 100.

Sabemos que los números impares son una progresión aritmética de razón 2: (1, 3, 5, 7… 99). En esta progresión hay 50 términos, ya que, del 1 al 100, la mitad de los números son pares y la otra mitad es impar.

Por tanto, tenemos que:

n = 50

La₁ = 1

La_No = 99

También acceda a: Función de primer grado: uso práctico de la progresión aritmética.

Progresión geométrica

Una cadena también se puede clasificar como pragresión geométrico (PG). Para que una secuencia sea una progresión geométrica, debe tener una razón, pero en este caso, para encontrar el siguiente término del primer término, realizamos el multiplicación de la razón por el término anterior.

Ejemplos de:

a) (3, 6, 12, 24, 48…) → Progresión geométrica de razón 2, y su primer término es 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000…) → Progresión geométrica de la razón 10, y su primer término es 20.

• Término de un PG

En progresión geométrica, representamos el motivo de la letra. qué. El término de una progresión geométrica se puede encontrar mediante la fórmula:

La_No = el₁ · qué^{n - 1}

Ejemplo:

Encuentra el décimo término de un PG, sabiendo que qué = 2 y el₁ = 5.

La_No = el₁ · qué^{n - 1}

La₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

La₁₀ = 5 · 2⁹

La₁₀ = 5 · 512

La₁₀ = 2560

• Término general de un PG

Cuando conocemos el primer término y la razón, es posible generar la fórmula del término general a partir de una progresión geométrica que depende exclusivamente del valor de No. Para esto, solo necesitamos reemplazar el primer término y la razón, y encontraremos una ecuación que depende solo del valor de No.

Usando el ejemplo anterior, donde la razón es 2 y el primer término es 5, el término general para este GP es:

La_No = el₁ · qué^{n - 1}

La_No = 5 · 2^{n - 1}

• Suma de términos de un PG

Agregar todos los términos de una progresión sería mucho trabajo. En muchos casos, escribir la secuencia completa para lograr esta suma requiere mucho tiempo. Para facilitar este cálculo, la progresión geométrica tiene una fórmula que sirve para calcular la la suma de No primeros elementos de un PG finito:

Ejemplo:

Encuentre la suma de los primeros 10 términos del GP (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Tenga en cuenta que la relación de este PG es igual a 2.

La₁ = 1

qué = 2

No = 10

Lea también: Función exponencial: uso práctico de la progresión geométrica

Ejercicios resueltos

Pregunta 1 - Los científicos están observando un cultivo particular de bacterias durante unos días. Uno de ellos está analizando el crecimiento de esta población y notó que, el primer día, había 100 bacterias; en el segundo, 300 bacterias; en el tercero, 900 bacterias, etc. Analizando esta secuencia, podemos decir que es:

A) una progresión aritmética de razón 200.

B) una progresión geométrica de razón 200.

C) una progresión arimética de la razón 3.

D) una progresión geométrica de razón 3.

E) una secuencia, pero no una progresión.

Resolución

Alternativa D.

Analizando la secuencia, tenemos los términos:

Tenga en cuenta que 900/300 = 3, así como 300/100 = 3. Por lo tanto, estamos trabajando con un PG de razón 3, ya que estamos multiplicando por tres desde el primer término.

Pregunta 2 - (Enem - PPL) Para un principiante en carrera, se estipuló el siguiente plan de entrenamiento diario: correr 300 metros el primer día y aumentar 200 metros por día a partir del segundo. Para contar su rendimiento, utilizará un chip, adherido a su zapatilla, para medir la distancia recorrida en el entrenamiento. Considere que este chip almacena, en su memoria, un máximo de 9.5 km de carrera / caminata, y debe colocarse al inicio del entrenamiento y desecharse luego de agotar el espacio de reserva de datos. Si este atleta usa el chip desde el primer día de entrenamiento, ¿durante cuántos días consecutivos este chip podrá almacenar el kilometraje de ese plan de entrenamiento diario?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Resolución

Alternativa B.

Analizando la situación, sabemos que tenemos un PA con una razón de 200 y un final inicial igual a 300.

Además, sabemos que la suma S_No = 9,5 km = 9500 metros.

Con estos datos, encontremos el término a_No, que es el número de kilómetros registrados el último día de almacenamiento.

También vale la pena recordar que cualquier término_No Se puede escribir como:

La_No = el₁ + (n - 1)r

Dada la ecuación 200n² + 400n - 19000 = 0, podemos dividir todos los términos por 200, simplificando la ecuación y encontrando: n² + 2n - 95 = 0.

Para delta y Bhaskara, tenemos que:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Sabemos que 8,75 corresponde a 8 días y unas horas. En este caso, el número de días en los que se puede realizar la medición es de 8.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm