Las operaciones con números complejos en forma trigonométrica facilitan el cálculo que involucra los elementos de este conjunto. La multiplicación y división de complejos que están en forma trigonométrica se realizan casi instantáneamente, mientras que en forma algebraica el proceso requiere más cálculos. La potenciación y radicación de complejos en forma trigonométrica también se facilitan con el uso de fórmulas de Moivre. Veamos cómo se realiza el enraizamiento de estos números:
Considere cualquier número complejo z = a + bi. La forma trigonométrica de z es:
Las raíces de índice n de z están dadas por la segunda fórmula de Moivre:
Ejemplo 1. Encuentra las raíces cuadradas de 2i.
Solución: Primero debemos escribir el número complejo en forma trigonométrica.
Todo el número complejo tiene la forma z = a + bi. Entonces, tenemos que:
También sabemos que:
Con los valores de seno y coseno podemos concluir que:
Por tanto, la forma trigonométrica de z = 2i es:
Ahora, calculemos las raíces cuadradas de z usando la fórmula de Moivre.
Como queremos las raíces cuadradas de z, obtendremos dos raíces distintas z0 yz1.
Para k = 0, tendremos
Para k = 1, tendremos:
O
Ejemplo 2. Obtenga las raíces cúbicas de z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
Solución: Como el número complejo ya está en forma trigonométrica, simplemente use la fórmula de Moivre. Del enunciado tenemos que ø = π y | z | = 1. Así,
Tendremos tres raíces distintas, z0, z1 yz2.
Para k = 0
Para k = 1
O z1 = - 1, ya que cos π = - 1 y sin π = 0.
Para k = 2
Por Marcelo Rigonatto
Especialista en Estadística y Modelización Matemática
Equipo Escolar de Brasil
Números complejos - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm