Los cálculos relacionados con áreas de figuras planas regulares se realizan con cierta facilidad debido a las fórmulas matemáticas existentes. En el caso de figuras como triángulo, cuadrado, rectángulo, trapezoides, rombos, paralelogramos, entre otras, basta con relacionar las fórmulas con la figura y realizar los cálculos necesarios. Algunas situaciones requieren herramientas auxiliares para obtener áreas, como regiones bajo una curva. Para tales situaciones usamos cálculos que involucran las nociones de integración desarrolladas por Isaac Newton y Leibniz.
Podemos representar algebraicamente una curva en el plano mediante una ley de formación llamada función. La integral de una función se creó para determinar áreas bajo una curva en el plano cartesiano. Los cálculos que involucran integrales tienen varias aplicaciones en matemáticas y física. Tenga en cuenta la siguiente ilustración:
Para calcular el área de la región demarcada (S) usamos la función integrada f sobre la variable x, entre el rango ayb:
La idea principal de esta expresión es dividir el área demarcada en infinitos rectángulos, porque intuitivamente la integral de f (x) corresponde a la suma de los rectángulos de altura f (x) y base dx, donde el producto de f (x) por dx corresponde al área de cada rectángulo. La suma de las áreas infinitesimales dará el área de superficie total debajo de la curva.
Al resolver la integral entre los límites ayb, tendremos como resultado la siguiente expresión:
Ejemplo
Determine el área de la región a continuación delimitada por la parábola definida por la expresión f (x) = - x² + 4, en el rango [-2,2].
Determinación del área mediante la integración de funciones f (x) = –x² + 4.
Para ello debemos recordar la siguiente técnica de integración:
Por tanto, el área de la región delimitada por la función f (x) = –x² + 4, que van de -2 a 2, son 10,6 unidades de área.
por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Roles - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-sob-uma-curva.htm