Para el cálculo de determinantes de matrices cuadradas de orden menor o igual a 3 (n≤3), tenemos algunas reglas prácticas para realizar estos cálculos. Sin embargo, cuando el orden es mayor que 3 (n> 3), muchas de estas reglas no son aplicables.
Entonces veremos el teorema de Laplace, que, usando el concepto de cofactor, lleva el cálculo de determinantes a reglas que se aplican a cualquier matriz cuadrada.
El teorema de Laplace consiste en elegir una de las filas (fila o columna) de la matriz y sumar los productos de los elementos de esa fila por sus respectivos cofactores.
Ilustración algebraica:
Veamos un ejemplo:
Calcule el determinante de la matriz C usando el teorema de Laplace:
Según el teorema de Laplace, debemos elegir una fila (fila o columna) para calcular el determinante. Usemos la primera columna:
Necesitamos encontrar los valores de cofactor:
Así, por el teorema de Laplace, el determinante de la matriz C viene dado por la siguiente expresión:
Tenga en cuenta que no fue necesario calcular el cofactor del elemento de la matriz que era igual a cero, después de todo, cuando multiplicamos el cofactor, el resultado sería cero de todos modos. Por lo tanto, cuando nos encontramos con matrices que tienen muchos ceros en una de sus filas, el El uso del teorema de Laplace se vuelve interesante, ya que no será necesario calcular varios cofactores.
Veamos un ejemplo de este hecho:
Calcule el determinante de la matriz B usando el teorema de Laplace:
Tenga en cuenta que la segunda columna es la fila que tiene la mayor cantidad de ceros, por lo que usaremos esta fila para calcular el determinante de la matriz mediante el teorema de Laplace.
Por lo tanto, para determinar el determinante de la matriz B, simplemente encuentre el cofactor A22.
Por tanto, podemos completar los cálculos del determinante:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm