calcula el factorial de un número solo tiene sentido cuando trabajamos con números naturales. Esta operación es bastante común en análisis combinatorio, facilitando el cálculo de arreglos, permutaciones, combinaciones y otros problemas relacionados con el conteo. El factorial es representado por el símbolo “!”. ¡Lo definimos como n! (n factorial) a multiplicación de n por todos sus predecesores hasta llegar a 1. ¡No! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
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¿Qué es factorial?
Factorial es una operación muy importante para el estudio y desarrollo del análisis combinatorio. En matemáticas, el número seguido por el símbolo de exclamación (!) se conoce como factorial, por ejemplo x! (x factorial).
Conocemos como factorial de un número natural La multiplicar este número por sus predecesores excepto cero, o sea:
¡No! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Cabe destacar que, para que esta operación tenga sentido, n es un número natural
cálculo factorial
Para encontrar el factorial de un número, simplemente calcula el producto. También tenga en cuenta que el factorial es una operación que, cuando aumente el valor de n, el resultado también aumentará mucho.
Ejemplos de:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Por definición, tenemos:
0! = 1
1! = 1
Operaciones factoriales
Para resolver operaciones factoriales, es importante tener cuidado de no cometer errores. Cuando vamos a sumar, restar o multiplicar dos factoriales, es necesario calcular cada uno de ellos por separado. Solo la división tiene formas específicas de realizar simplificaciones. No cometa el error de realizar la operación y mantener el factorial, ya sea para sumar y restar o para multiplicar.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Al resolver cualquiera de estas operaciones, debemos calcular cada uno de los factoriales.
Ejemplos de:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Vea también: ¿Cómo resolver una ecuación con factorial?
Simplificación factorial
Las divisiones son bastante recurrentes. En fórmulas de combinación, ordenamiento y permutación con repetición, siempre recurriremos a la simplificación para resolver problemas que involucran factorial. Para eso, sigamos algunos pasos.
Ejemplo:
1er paso: identifique el mayor de los factoriales - ¡en este caso, es 8! Ahora, mirando el denominador, que es 5!, escribamos la multiplicación de 8 por sus predecesores hasta llegar a 5 !.
El factorial de un número n, es decir, n!, puede reescribirse como la multiplicación de n a k!. Así,
¡No! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, ¡así que reescribamos 8! como la multiplicación del 8 al 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Así que reescribamos la razón como:
2do paso: después de reescribir el razón, es posible simplificar el numerador con el denominador, ya que 5! está tanto en el numerador como en el denominador. Después de la simplificación, simplemente realice la multiplicación.
Ejemplo 2:
Análisis combinatorio y factorial
Al realizar el Más estudio en análisis combinatorio, siempre aparecerá el factorial de un número.. Las principales agrupaciones en el análisis combinatorio, que son la permutación, la combinación y la disposición, utilizan el factorial de un número en sus fórmulas.
Permutación
LA permutación y el reordenación de todos los elementos de un conjunto. Para calcular una permutación, recurrimos al factorial, ya que la permutación de n elementos se calcula mediante:
PAGNo = n!
Ejemplo:
Cuantos anagramas ¿Podemos construir con el nombre HEITOR?
Este es un problema de permutación típico. Como hay 6 letras en el nombre, para calcular el número de anagramas posibles, simplemente calcule P6.
PAG6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
También acceda a: Permutación con elementos repetidos: ¿cómo solucionarlo?
Preparativos
Calcular preparativos también requiere dominar el factorial de un número. El arreglo, como la permutación, es la formación de un reordenamiento. La diferencia es, en el arreglo, estamos reordenando parte del conjunto, es decir, queremos saber cuántos reordenamientos posibles podemos formar eligiendo una cantidad k de uno colocar con n elementos.
Ejemplo:
En una empresa hay 6 candidatos para gestionar la institución, y dos serán seleccionados para los puestos de director y subdirector. Sabiendo que serán elegidos por votación, ¿cuántos resultados posibles hay?
En este caso, calcularemos la disposición de 6 tomados de 2 por 2, ya que hay 6 candidatos para dos vacantes.
Combinación
En la combinación, como en las demás, es necesario dominar el factorial de un número. Definimos como combinación usted subconjuntos de un conjunto. La diferencia es que, en la combinación, no hay reordenamiento, porque el orden no es importante. Entonces, estamos calculando cuántos subconjuntos con k elementos podemos formar en un conjunto de n elementos.
Ejemplo:
Se elegirá un comité de 3 estudiantes para representar a la clase. Sabiendo que hay 5 candidatos, ¿cuántas comisiones se pueden formar?
Lea también: ¿Arreglo o combinación?
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Sobre el factorial de un número, juzga las siguientes afirmaciones.
I). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Solo yo es verdad.
B) Solo II es cierto.
C) Solo III es cierto.
D) Solo I y II son verdaderas.
E) Solo II y II son verdaderas.
Resolución
Alternativa A.
I) Cierto.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Falso.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Falso.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Pregunta 2 - (UFF) ¿Es el producto 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 equivalente a?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Resolución
Alternativa D.
Al observar el producto de todos los números pares del 2 al 20, sabemos que:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Entonces podemos reescribir como 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas