O mínimo común múltiplo (MMC) entre dos enteros xey es el entero más pequeño que es múltiplo de xey simultáneamente. De esta forma, hay al menos una forma de encontrar el MMC entre dos números xey: busque los conjuntos de múltiplos de xey para el elemento común más pequeño. Por supuesto, existe un método práctico para encontrar este número, que se discutirá a continuación. Sin embargo, es necesario comprender completamente el concepto de múltiplos de un número entero.
¿Qué son los múltiplos?
Un entero k se llama múltiple de x si hay algún número natural n tal que n · x = k. Tome el ejemplo del número 110. Él es múltiple de 10, ya que 110 es el resultado de multiplicar 10 por el número natural 11.
De esta forma, es posible identificar si el entero k es múltiple de x por ensayo y error o haciendo la operación inversa de multiplicación (división). El número k es un múltiplo de x si hay un número natural n tal que:
n = k
X
En otras palabras, para saber si 110 es múltiplo de 10, divide 110 entre 10. Si el resultado encontrado es un número natural, 110 es un múltiplo de 10; De otra manera no.
Como el conjunto de números naturales es infinito, el conjunto de múltiplos de cualquier entero también es infinito. Sin embargo, para resolver ejercicios que involucran múltiples y MMC, Es bueno escribir una lista de los primeros múltiplos de un número para obtener un mejor análisis del comportamiento de sus múltiplos.
A continuación se muestra una lista de los primeros 10 múltiplos de 8, 10, 12, 20 y 40. Son los primeros 10 porque son el resultado de multiplicar estos números por los primeros 10 números naturales.
10 primeros naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Minimo común multiplo
Para encontrar el minimo común multiplo entre dos números, encuentre el múltiplo menor que tienen en común. La primera técnica utilizada para encontrar el mmc es buscarlo entre múltiplos de los dos números. Mira el ejemplo:
El mínimo común múltiplo entre 10 y 12 es 60, porque entre los múltiplos de 10 y 12, 60 es el número más pequeño que es múltiplo de ambos. Mirar:
Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Para estos dos números, que son pequeños, es fácil encontrar la MMC. Pero, ¿qué pasa cuando se requiere el cálculo de MMC entre 256 y 384? Se necesitarán numerosas multiplicaciones agotadoras si desea continuar con este método. Para eso, hay un método práctico que se discutirá a continuación.
Método de descomposición para calcular MMC
Para calcular el minimo común multiplo entre dos números, puede hacer que el descomposición de factores primos su. Por ejemplo, las descomposiciones en factores primos de 10 y 12 son:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Nota: Siempre que aparezcan factores repetidos, escríbalos en forma de potencia, como se hizo en la descomposición del número 12.
La MMC entre 10 y 12 será el producto de los factores primos, a excepción de los factores repetidos que tienen el menor exponente. Así, el mínimo será:
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Tenga en cuenta que el factor 2, de la descomposición del número 10, se ignoró, ya que el mismo factor, de la descomposición del número 12, se elevó al cuadrado.
Esto facilita el cálculo de la MMC entre 256 y 384. Vea:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC será el producto 28·3 = 256·3 = 768.
Ejemplo 2: MMC entre 768 y 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
La MMC será el producto: 29·32.
Ejemplo 3: Calcule la MMC entre 2700 y 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Tenga en cuenta que los factores son 2, 3 y 5. Aquellos con los exponentes más altos son 29, 33 y 52. Entonces el MMC será:
29·33·52 = 345600
Método práctico para calcular MMC
Es posible notar que para descomponer números en factores primos, es necesario dividirlos por el divisor primo más pequeño posible y aun así ignorar los factores que se repiten en la misma división. Existe un método capaz de realizar esta tarea. Para enseñarte, usaremos el ejemplo de MMC entre 1000 y 1024.
Escriba estos dos números uno al lado del otro, separados por una coma, y pase un trazo lateral vertical a la derecha de ellos:
1000, 1024 |
|
|
A la derecha de esa traza, escriba el número primo más pequeño que divide al menos uno entre 1000 y 1024. En este caso, el número es 2 y divide a ambos.
1000, 1024 | 2
|
|
Justo debajo de cada uno de ellos, escriba el resultado de su división por 2 y, para estos resultados, repita el procedimiento anterior hasta que ya no sea posible dividir ninguno de los números por 2.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Tenga en cuenta que en algún momento encontramos el resultado 125 en la columna 1000, pero 125 no es divisible por 2. En la columna número 1024, solo obtenemos resultados divisibles por 2. En este caso, continuamos dividiendo los números en la columna 1024 por 2 y repetimos el número 125.
Cuando los números de las columnas 1000 y 1024 ya no sean divisibles por 2, pruebe con el siguiente primo: el número 3. Cuando no haya más divisores de 3, pruebe con el siguiente y así sucesivamente hasta obtener el resultado “1,1”. En el caso del ejemplo, 125 no es divisible por 3, sino por 5, así que repetiremos el proceso poniendo 5 a la derecha del guión. Mirar:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Una vez hecho esto, multiplique los factores que se encuentran a la derecha de la línea vertical:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Ejemplo 2: Calcule la MMC entre 432 y 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
La MMC será: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Para calcular la MMC de tres números o más, simplemente use el método práctico discutido aquí, poniendo todos estos números uno al lado del otro.
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm