O Laarreglo simple es un tipo de agrupamiento estudiado en análisis combinatorio. Sabemos cómo organizar todas las agrupaciones formadas con No elementos tomados de k en k, sabiendo que el valor de No > k.
Para diferenciar la disposición de las otras agrupaciones (la combinación y la permutación), es importante entender que, en la combinación, el orden de los elementos del conjunto no es importante y que, en la disposición, sí lo es. Además, en la permutación, todos los elementos del conjunto están involucrados, ya que en el arreglo, elegimos parte del set, en este caso, expresado por k elementos del conjunto.
Para calcular alguno de estos grupos y, en particular, la ordenación, es necesario utilizar fórmulas específicas para cada uno de ellos. Existen varias aplicaciones de arreglos, una de las cuales es la elaboración de contraseñas bancarias. ¿Alguna vez se preguntó cuántas contraseñas se pueden crear con ciertos números y letras? Es a través de arreglos que podemos responder a esta pregunta.
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¿Cuál es la fórmula del arreglo simple?
Hay problemas de disposición en los que no es necesario utilizar la fórmula., por ser problemas sencillos. Por ejemplo, dado el conjunto {a, b, c}, ¿de cuántas formas diferentes podemos elegir 2 elementos de este colocar entonces ese orden es importante?
Para resolver este problema, solo reescribemos posibles agrupaciones. Este es un arreglo porque estamos tomando secuencias de 2 elementos de un conjunto que tiene 3 elementos. Los posibles arreglos son:
A {(a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (a, d); (da); (antes de Cristo); (c, b); (b, d); (d, b); (CD); (corriente continua)}
En este caso podemos decir que hay 12 arreglos posibles, con 3 elementos tomados de 2 en 2. A menudo, el interés está en el número de posibles arreglos y no en la lista, como hicimos antes.
Para resolver problemas de arreglos, es decir, encontrar cuántos arreglos hay de No elementos tomados de k en k, usamos la siguiente fórmula:
¿Cómo calcular el arreglo simple?
Para contar el número de arreglos en una situación dada, simplemente identificar cuántos elementos tienen en general y cuántos elementos se elegirán de este conjunto, es decir, cuál es el valor de No y cual es el valor de k En esta situación, más tarde, simplemente reemplace los valores encontrados en la fórmula y calcule el factoriales.
Ejemplo 1:
¿Cuántos arreglos hay de 9 elementos tomados de 3 a 3?
No = 9 y k = 3
Ejemplo 2:
Las contraseñas de un banco determinado constan de cuatro dígitos y los números utilizados no pueden aparecer dos veces en la misma contraseña. Entonces, ¿cuál es la cantidad de contraseñas posibles para este sistema?
Estamos lidiando con un problema de organización porque, en una contraseña, el orden es importante y hay opciones de 10 dígitos (todos los números del 0 al 9), de los cuales elegiremos 4.
No = 10
k = 4
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Arreglo simple y combinación simple
para los que estan estudiando análisis combinatorio, uno de los puntos más importantes es la diferenciación entre problemas que se pueden resolver con una disposición simple y problemas que se pueden resolver con una combinación simple. Aunque son conceptos cercanos y se utilizan para calcular el número total de agrupaciones posibles en una parte de los elementos del conjunto, para diferenciar problemas que los involucran, solo analiza si, en el problema propuesto, el orden es importante o no.
Cuando el orden es importante, el problema se resuelve mediante un arreglo. El arreglo (A, B) es una agrupación diferente de (B, A). Así, problemas que involucren colas, podios, contraseñas o cualquier otra situación en la que, al moverse el orden de los elementos, se forman diferentes agrupaciones, se resuelven utilizando la fórmula de arreglo.
Cuando el orden no es importante, el problema se resuelve mediante una combinación. La combinación {A, B} es la misma agrupación que {B, A}, es decir, el orden de los elementos es irrelevante. Los problemas de dibujo, muestras de un conjunto, entre otros, en los que el orden no es relevante, se resuelven mediante la fórmula de combinación. Para obtener más información sobre esta otra forma de agrupación, lea: combinación simple.
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - El ajedrez surgió en el siglo VI, en la India, llegando a otros países, como China y Persia, y convirtiéndose en uno de los juegos de tablero más popular de la actualidad, siendo practicado por millones de personas y torneos y competiciones existentes internacional. El juego se juega en un tablero cuadrado y se divide en 64 cuadrados, alternativamente blancos y negros. Por un lado están las 16 piezas blancas y, por el otro, el mismo número de piezas negras. Cada jugador tiene derecho a un movimiento a la vez. El objetivo del juego es dar jaque mate al oponente. En una competición internacional, los 15 mejores jugadores de ajedrez son igualmente capaces de llegar a la final y ser el ganador. Sabiendo eso, ¿de cuántas formas diferentes puede suceder el podio en esta competición?
A) 32.760
B) 455
C) 3510
D) 2730
E) 210
Resolución
Alternativa D
Tenemos que No = 15 y k = 3.
Pregunta 2 - (Enem) Doce equipos se inscribieron para un torneo de fútbol amateur. El juego de apertura del torneo se eligió de la siguiente manera: primero, se sortearon 4 equipos para formar el Grupo A. Luego, entre los equipos del Grupo A, se sortearon 2 equipos para jugar el partido inaugural del torneo, el primero de los cuales jugaría en su propio campo y el segundo sería el equipo visitante. El número total de selecciones posibles para el Grupo A y el número total de selecciones para los equipos en el juego de apertura se puede calcular mediante:
A) una combinación y un arreglo, respectivamente.
B) un arreglo y una combinación, respectivamente.
C) una disposición y una permutación, respectivamente.
D) dos combinaciones.
E) dos arreglos.
Resolución
Alternativa A. Para saber a qué tipo de agrupación se refiere el problema, basta con analizar si el orden es importante o no.
En la primera agrupación, se sortearán 4 equipos entre los 12. Tenga en cuenta que, en este sorteo, el orden no importa. Independientemente del orden, los 4 equipos sorteados formarán el Grupo A, por lo que la primera agrupación es una combinación.
En la segunda elección, de los 4 equipos, se sortearán 2, pero el primero jugará en casa, por lo que, en este caso, el orden genera resultados diferentes, por lo tanto, es un arreglo.
Por Raul Rodrigues Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-simples.htm