LA función de inyección, también conocida como función inyectiva, es un caso particular de función. Para que una función se considere inyectable, debemos tener la siguiente ocurrencia: dados dos elementos, x1 y x2, perteneciente al conjunto de dominios, con x1 diferente de x2, imágenes f (x1) yf (x2) son siempre distintos, es decir, f (x1) ≠ f (x2). Esta función tiene características específicas que permiten la identificación de su gráfico y también el análisis de la ley de formación.
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¿Qué es una función de inyección?
Para construir algunos ejemplos de la función del inyector, es importante comprender la definición de este tipo de función. Una función F: A → B se clasifica como inyectable si, y solo si, los elementos diferentes del conjunto A tienen diferentes imágenes en el conjunto B, o sea:
Ejemplo 1:
A continuación se muestra un ejemplo de la función del inyector en Dve diagramaNoNo:
Ejemplo 2:
A continuación se muestra un ejemplo de una función que no inyecta. Tenga en cuenta que en el colocar A, hay dos elementos distintos que tienen la misma imagen en el conjunto B, lo que contradice la definición de función del inyector.
¿Cómo calcular la función de un inyector?
Para verificar si una función está inyectando o no, es necesario analizar el comportamiento de la ley de formación y también el dominio y contradominio en el que se define la función.
Ejemplo:
dada la función F: R → R, con la ley de formación F(x) = 2x, compruebe si es inyector.
Por la ley de formación, podemos ver que se necesita un Número Real del dominio y lo convierte en su doble. Dos números reales distintos, cuando se multiplican por dos, producen resultados distintos. LA ocupaciónF, como podemos ver, es una función de inyector, ya que para dos valores cualesquiera de x1 y x2,El valor de F(X1) ≠ F(X2).
Ejemplo 2:
dada la función F: R → R, con ley de formación F(x) = x², comprobar si es inyector.
Podemos observar que, para este dominio, esta función no es inyectar, ya que tenemos que la imagen de cualquier número es igual a la imagen de su opuesto, por ejemplo:
F( 2) = 2² = 4
F( --2 ) = (– 2) ² = 4
nota F(2) = F (- 2), que contradice la definición de función de inyector.
Ejemplo 3:
dada la función F: R+ → R, con ley de formación F(x) = x², comprobar si es inyector.
Tenga en cuenta que ahora el dominio son los números reales positivos y cero. La función convierte el número real en su cuadrado; en este caso, cuando el dominio es el conjunto de números reales positivos, esta función es inyectiva, porque el cuadrado de dos números positivos distintos siempre generará resultados diferentes. Entonces, es muy importante recordar que, además de la ley de formación de funciones, necesitamos analizar su dominio y contradominio.
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Tabla de funciones de inyección
Para identificar si el gráfico es una función de inyector o no, simplemente verifique si hay dos valores x distintos que generan el mismo corresponsal y, es decir, comprobar la validez de la definición de función del inyector.
En el rango donde vamos a mirar el gráfico, la función tiene que ser exclusivamente creciente o exclusivamente decreciente. Gráficos como el parábola o la función sinusoidal no son gráficos de las funciones del inyector.
Ejemplo 1:
La línea ascendente es el gráfico de una función de inyección. Tenga en cuenta que siempre está aumentando y que no hay un valor de y que tenga dos corresponsales distintos.
Ejemplo 2:
La gráfica de un funcion exponencial también es el gráfico de una función de inyector.
Ejemplo 3:
La gráfica de un función cuadrática siempre es una parábola. Cuando el dominio involucra los números reales, es posible ver que hay diferentes valores de x que tienen el mismo correspondiente en y, como en los puntos F y G, lo que hace que esta gráfica de una función que no es inyector.
En resumen, para saber si el gráfico es o no de una función de inyector, basta con comprobar si la definición de una función de inyector es válida o no para esa función.
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Enem 2017 - PPL) En el primer año de secundaria en una escuela, es costumbre que los estudiantes bailen bailes cuadrados en la fiesta de junio. Este año, hay 12 niñas y 13 niños en la clase, y se formaron 12 parejas diferentes para la pandilla, que consisten en una niña y un niño. Suponga que las niñas son los elementos que componen el conjunto A y los niños, el conjunto B, de modo que las parejas formadas representan una función f de A a B.
Con base en esta información, la clasificación del tipo de función que está presente en esta relación es
A) f está inyectando, porque por cada niña perteneciente al conjunto A, se asocia un niño diferente perteneciente al conjunto B.
B) f es sobreyectiva, ya que cada pareja está formada por una niña perteneciente al conjunto A y un niño perteneciente al conjunto B, quedando un niño sin pareja.
C) f está inyectando, ya que dos niñas que pertenecen al grupo A son parejas con el mismo niño que pertenece al grupo B, para involucrar a todos los estudiantes de la clase.
D) f es biyectiva, ya que dos niños que pertenecen al conjunto B forman una pareja con la misma niña que pertenece al conjunto A.
E) f es sobreyectiva, ya que basta con que una niña del grupo A forme una pareja con dos niños del grupo B, para que ningún niño se quede sin pareja.
Resolución
Alternativa A.
Esta función es inyectiva porque, para cada elemento del conjunto A, hay un único corresponsal en el conjunto B. Tenga en cuenta que no hay posibilidad de que dos chicas bailen con la misma pareja, por lo que esta relación es inyectable.
Pregunta 2 - (IME - RJ) Considere los conjuntos A = {(1,2), (1,3), (2,3)} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, y sea la función f: A → B tal que f (x, y) = x + y.
Es posible decir que f es una función:
A) inyector.
B) sobreyectiva.
C) biyector.
D) par.
E) extraño.
Resolución
Alternativa A.
Analizando el dominio, tenemos que:
f (1.2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f (2,3) = 2 + 3 = 5
Tenga en cuenta que para dos términos distintos en el dominio, están relacionados con términos distintos en el contradominio, lo que hace que esta función sea un inyector.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
