La alineación de tres puntos se puede determinar aplicando el cálculo determinante de una matriz de orden de 3x3. Al calcular el determinante de la matriz construida utilizando las coordenadas de los puntos en cuestión y encontrando un valor igual a cero, podemos decir que existe colinealidad de los tres puntos. Tenga en cuenta los puntos en el plano cartesiano a continuación:
Las coordenadas de los puntos A, B y C son:
Punto A (x1, y1)
Punto B (x2, y2)
Punto C (x3, y3)
A través de estas coordenadas ensamblaremos la matriz 3x3, la abscisa de los puntos constituirá la 1ª columna; las ordenadas, la 2ª columna y la tercera columna se complementarán con la número uno.
Aplicando Sarrus tenemos:
x1 * y2 * 1 + y1 * 1 * x3 + 1 * x2 * x3 - (y1 * x2 * 1 + x1 * 1 * y3 + 1 * y2 * x3) = 0
x1y2 + y1x3 + x2 * x3 - y1x2 - x1y3 - y2x3 = 0
Ejemplo 1
Comprobemos si los puntos P (2,1), Q (0, -3) y R (-2, -7) están alineados.
Resolución:
Construyamos la matriz usando las coordenadas de los puntos P, Q y R y apliquemos Sarrus.
2*(–3)*1 + 1*1*(–2) + 1*(–7)*0 – [1*(–3)*( –2) + 1*0*1 + 2*(–7)*1] = 0
– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0
– 8 – 6 +14 = 0
–14 + 14 = 0
0 = 0
Podemos verificar que los puntos están alineados, ya que el determinante de la matriz de coordenadas de los puntos es nulo.
por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Geometría analítica - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos-2.htm