Tú números complejos surgen de la necesidad de resolver ecuaciones eso tiene raíz de número negativo, que, hasta entonces, no era posible resolver trabajando con números reales. Los números complejos se pueden representar de tres formas: a forma algebraica (z = a + bi), compuesto por una parte real La y una parte imaginaria B; La Forma geométrica representado en el plano complejo también conocido como plano de Argand-Gauss; y la tuya forma trigonométrica, también conocida como forma polar. Según su representación, como estamos trabajando con un conjunto numérico, los números complejos tienen operaciones bien definidas: suma, resta, multiplicación, división y potenciación.
A través de la representación geométrica en el plano complejo, también definimos el módulo (representado por |z|) de un número complejo, que es la distancia desde el punto que representa el número complejo hasta el origen, y cuál es el argumento de un número complejo - que es el ángulo formado entre el eje horizontal y la pista que conecta el origen con el punto que representa el número complejo.
necesidad de números complejos
En matemáticas, la expansión de un conjunto numérico a un nuevo conjunto, a lo largo de la historia, fue algo bastante común. Resulta que, en el transcurso de ella, las matemáticas se han desarrollado, y luego, a satisfacer las necesidades de la época, se notó que había números que no pertenecían al conjunto numérico al que se refería. Así fue con la aparición de conjuntos numéricos enteros, racionales, irracionales y reales, y no fue diferente cuando hubo una necesidad de expandir el conjunto de números reales al de números complejos.
Cuando tratamos de resolver ecuaciones cuadráticas, es bastante común que encontremos raíz cuadrada de un número negativo, que es imposible de resolver en el conjunto de números reales, de ahí la necesidad de números complejos. El inicio del estudio de estos números recibió aportaciones de importantes matemáticos, como Giralmo Cardono, pero su conjunto fue formalizado por Gauss y Argand.
Lea también: Representación geométrica de la suma de números complejos
forma algebraica de un número complejo
Al intentar resolver una ecuación cuadrática como x² = –25, a menudo se decía que no tenía solución. Sin embargo, en un intento de algebrizar, el representación algebraica, que permite realizar operaciones con estos números, aunque no pueda calcular la raíz cuadrada de un número negativo.
Para facilitar la resolución de situaciones en las que trabaja con el raíz cuadrada de un número negativo, el unidad imaginaria.
Entonces, analizando la ecuación presentada x² = -25, tenemos que:
Por tanto, las soluciones de la ecuación son -5I e5I.
Para definir la forma algebraica, el letra I, conocida como unidad imaginaria de un número complejo. Un número complejo está representado por:
z = La + BI
En que La y B son números reales.
La: parte real, indicada por a = Re (z);
B: parte imaginaria, indicada por Im (z);
I: unidad imaginaria.
Ejemplos de
La) 2 + 3I
B) -1 + 4I
C) 5 – 0,2I
D) -1 – 3I
Cuando a la parte real es nula, el número se conoce como puro imaginario, por ejemplo, -5I y 5I son imaginarios puros porque no tienen parte real.
Cuando la parte imaginaria es nula, el número complejo también es un número real.
Operaciones con números complejos
Como cualquier conjunto numérico, las operaciones deben ser bien definido, por tanto, es posible realizar las cuatro operaciones básicas de números complejos teniendo en cuenta la forma algebraica presentada.
Sumar dos números complejos
Para llevar a cabo el adición de dos números complejos z1 ez2, agregaremos la parte real de z1 ez2 y la suma de la parte imaginaria, respectivamente.
Ser:
z1 = a + bI
z2 = c + dI
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)I
Ejemplo 1
Realización de la suma de z1 yz2.
z1 = 2 + 3I
z2 = 1 + 2I
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)I
z1 +z2= 3 + 5I
Ejemplo 2
Realización de la suma de z1 yz2.
z1 = 5 – 2I
z2 = – 3 + 2I
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)I
z1+z2 = (5 – 3) + 0I
z1 +z2= 3 + 0I = 3
Vea también: Representación geométrica de la suma de números complejos
Resta de dos números complejos
Antes de que hablemos de sustracción, necesitamos definir cuál es el inverso de un número complejo, es decir, z = a + bI. El inverso de z, representado por –z, es el número complejo –z = –a –bI.
Para realizar la resta entre z1y -z2, así como además, haremos la resta entre partes reales y entre partes imaginarias por separado, pero es necesario entender que -z2 es el inverso de un número complejo, lo que hace necesario jugar al juego de los signos.
Ejemplo 1
Realizar la resta de z1 yz2.
z1 = 2 + 3I
z2 = 1 + 2I
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)I
z1–z2= 1 + 1I = 1+ I
Ejemplo 2
Realizar la resta de z1 yz2.
z1= 5 – 2I
z2 = – 3 + 2I
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)I
z1–z2= (5 + 3) + (–4)I
z1 –z2= 8 + (–4)I
z1 –z2= 8 –4I
Poderes unitarios imaginarios
Antes de hablar de multiplicación, debemos comprender el poder de la unidad imaginaria. En la búsqueda de un método para calcular las potencias de INo, es necesario darse cuenta de que estos poderes se comportan de forma cíclica. Para esto, calculemos algunos potencias en I.
Resulta que los siguientes poderes no son más que su repetición, tenga en cuenta que:
I 4 = I 2 · I 2 = (–1) (–1) = 1
I 5 = I 2 · I 3 = (–1) (–I) = I
A medida que continuamos calculando las potencias, las respuestas siempre serán elementos del conjunto {1, i, –1, -I}, luego para encontrar una potencia de la unidad INo, dividiremos n (el exponente) entre 4, y el descansarde esta divisiónr = {0, 1, 2, 3}) será el nuevo exponente de I.
Ejemplo1
Cálculo de i25
Cuando dividimos 25 entre 4, el cociente será 6 y el resto será igual a 1. Entonces tenemos que:
I 25 = I1 = I
Ejemplo 2
Calculo de I 403
Cuando dividimos 403 entre 4, el cociente será 100, porque 100 · 4 = 400, y el resto será 3, entonces tenemos que:
I 403 =I 3 = -I
Multiplicación de números complejos
Para realizar la multiplicación de dos números complejos, apliquemos el Propiedad distributiva. Ser:
z1= a + bI
z2= c + dI, luego el producto:
z1 · z2 = (a + bI) (c + dI), aplicando la propiedad distributiva,
z1 · z2 = ac + anuncioI + cbI + bdI 2, pero como hemos visto, I ² = -1
z1 · z2 = ac + anuncioI + cbI - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (anuncio + cb)I
Usando esta fórmula, es posible encontrar el producto de dos números complejos cualesquiera, pero en un En general, no necesita estar decorado, ya que, para el cálculo en cuestión, solo aplicamos la propiedad distributivo.
Ejemplo
Cálculo del producto de (2 + 3I) (1 – 4I):
(2+3I) (1 – 4I) = 2 – 8I + 3I– 12I ², recordando que i² = -1:
(2 + 3I) (1 – 4I) = 2 – 8I + 3I+ 12
(2 + 3I) (1 – 4I) = (2 + 12) + (– 8 + 3)I
(2+3I) (1 – 4I) = 14 – 5I
También acceda a: Suma, resta y multiplicación de números complejos
Conjugado de números complejos
Antes de hablar de división, necesitamos entender qué es el conjugado de un número complejo. El concepto es simple, para encontrar el conjugado de un número complejo, simplemente a cambiomos el signo de la parte imaginaria.
división de dos números complejos
Para llevar a cabo el división de dos números complejos, necesitamos multiplicar la fracción por el conjugado del denominador para que esté bien definida cuál es la parte real y cuál es la parte imaginaria.
Ejemplo
Cálculo de la división de (6 - 4I): (4 + 2I)
Vea también: Opuesto, conjugado e igualdad de números complejos
Plano complejo o plano de Argand-Gauss
Conocido como plan complejo o Un planrgand-gauss, permite el representación en forma geométrica de un número complejo, este plan es una adaptación en el plano cartesiano para representar números complejos. El eje horizontal se conoce como eje de la pieza real Re (z), y el eje vertical se conoce como eje de la parte imaginaria Im (z). Entonces, el número complejo representado por a + bI genera los puntos en el plano complejo formado por el par ordenado (a, b).
Ejemplo
Representación del número 3 + 2I en la forma geométrica Z (3,2).
Módulo y argumento de un número complejo
El módulo de un número complejo, geométricamente, es el distancia desde el punto (a, b) que representa este número en el plano complejo al origen, es decir, el punto (0,0).
Como podemos ver, | z | es la hipotenusa de triángulo rectángulo, por lo tanto, se puede calcular aplicando el Teorema de pitágoras, entonces tenemos que:
Ejemplo:
Cálculo del módulo de z = 1 + 3I
O Laargumento de un número complejo, geométricamente, es el ángulo formado por el eje horizontal y el | z |
Para encontrar el valor del ángulo, tenemos que:
El objetivo es encontrar el ángulo θ = arg z.
Ejemplo:
Encuentre el argumento del número complejo: z = 2 + 2I:
Como ayb son positivos, sabemos que este ángulo está en el primer cuadrante, así que calculemos | z |.
Conociendo el | z |, es posible calcular el seno y el coseno.
Dado que, en este caso, ayb son iguales a 2, entonces, cuando calculamos senθ, encontraremos la misma solución para el coseno.
Conociendo los valores de sinθ y cosθ, consultando la tabla de ángulos notables y sabiendo que θ pertenece al primer cuadrante, por lo que θ se puede encontrar en grados o radianes, por lo que concluimos qué:
Forma trigonométrica o polar
La representación del número complejo en el forma trigonométrica solo es posible después de que comprendamos el concepto de módulo y argumento. A partir de esta representación, se desarrollan conceptos importantes para el estudio de números complejos a un nivel más avanzado. Para realizar la representación trigonométrica, recordaremos su forma algebraica z = a + bi, sin embargo, al analizar el plano complejo, tenemos que:
Sustituyendo, en forma algebraica, los valores de a = | z | cos θ y b = | z | sen θ, tenemos que:
z = a + bI
Con z = | z | cos θ + | z | senθ I, poniendo | z | en evidencia, llegamos a la fórmula de la forma trigonométrica:
z = | z | (cos θ + I · Pecado θ) |
Ejemplo: Escribe, en forma trigonométrica, el número
Para escribir en forma trigonométrica, necesitamos el argumento y el módulo de z.
1er paso - Cálculo de | z |
Conociendo el | z |, es posible encontrar el valor de θ consultando la tabla de ángulos notables.
Ahora es posible escribir el número z en su forma trigonométrica con el ángulo en grados o con el ángulo medido en radianes.
Lea también: Radiación de números complejos en forma trigonométrica
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (UFRGS) Dados los números complejos z1 = (2, –1) yz2 = (3, x), se sabe que el producto entre z1 yz2 es un número real. Entonces x es igual a:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Resolución
Alternativa D.
Para que el producto sea un número real, entonces la parte imaginaria es igual a cero.
Al escribir estos números en forma algebraica, tenemos que:
z1 = 2 – 1I yz2 = 3 + xI
z1 · Z2 = (2 – 1I) (3 + xI)
z1 · Z2 = 6 + 2xI –3I - XI ²
z1 · Z2 = 6 + 2xI –3yo + X
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)I
Dado que nuestro interés es que la parte imaginaria es igual a cero, entonces resolveremos para 2x - 3 = 0
Pregunta 2 - (UECE) Si i es el número complejo cuyo cuadrado es igual a -1, entonces el valor de 5I 227 + I 6 – I 13 es igual a:
La) I + 1
b) 4I –1
c) -6I –1
d) -6I
Resolución
Alternativa C.
Para resolver esta expresión, es necesario encontrar el resto de cada uno de los números en la división por 4.
227: 4 resulta en un cociente de 56 y un resto de 3.
I 227 = I 3 = –I
6: 4 resulta en cociente 1 y resto 2.
I 6 = I 2 = –1
13: 4 da como resultado el cociente 3 y el resto 1.
I 13 = I1 = I
Entonces tenemos que:
5I 227 + I 6 – I 13
5 (–I) + (–1) – I
–5I –1 – I
–6I – 1
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
