Se pueden analizar varios aspectos para definir si una figura es similar a otra. Por ejemplo, en triángulos, hay al menos cuatro casos de congruencia. Pero, en general, se puede decir que dos o más figuras son similares si tienen los mismos ángulos, el mismo número de lados y alguna proporción entre las medidas de los lados. Una alternativa presentada para la construcción de figuras similares es la homotecia.
La homotecia es un tipo de transformación geométrica que pasó a un segundo plano cuando el tema era la semejanza de figuras. Sin embargo, es un fuerte aliado para la ampliación o reducción de figuras geométricas. En general, al aplicar dilatación a un dibujo, se conservan las características principales, como la forma y los ángulos; pero el tamaño de la figura cambia. Esta relación se puede explicar mediante la derivación griega de la palabra homothetia, en la que homosexuales medio igual, y thetos, colocado, es decir, las figuras homotéticas se colocan a una distancia igual a “algo”. Las fotocopiadoras que realizan ampliaciones o reducciones suelen utilizar la homotecia como principio de funcionamiento. Veamos un poco más sobre las figuras homotéticas a continuación:
Relación de dilatación entre segmentos. AB, AB ' y AB ''
En la figura anterior, hay un segmento AB a partir del cual desea crear un segmento a partir de A que tiene el doble de ese segmento. Para hacer esto, cree el segmento AB ', resaltado en rojo en la figura anterior. Así, se puede decir que:
AB ' = 2. AB o todavía
AB = 1
AB ' 2
En este caso, hay una homotecia centrada en A. El punto B 'se llama Imagen (o homotético) desde el punto B.
Si quisiera trazar un nuevo segmento que haya triplicado el segmento inicial, estaría el segmento AB '', resaltado en verde en la figura, que correspondería al triple de la longitud de AB. Por tanto, entre estos segmentos estaría el siguiente motivo:
AB '' = 3. AB o todavía
AB = 1
AB '' 3
En este caso, hay una dilatación centrada en A, y el punto B '' es la imagen del punto B o la homotética del punto B.
¿Es posible establecer una relación entre AB ' y AB ''? Si AB ' = 2. AB y AB '' = 3. AB, pronto:
AB ' = 2. AB → AB = 1 . AB '
2
AB '' = 3. AB → AB = 1 . AB ''
3
Por lo tanto:
1 . AB ' = 1 . AB ''
2 3
AB ' = 2 . AB ''
3
La relación entre los segmentos AB ' y AB '' es de ⅔.
Ahora mire una relación de dilatación para agrandar un hexágono. A partir del centro A, hay una dilatación de razón 3, porque la longitud del segmento AB ' es el triple del segmento AB. Es posible ver que la razón se conserva en relación con todos los demás vértices del hexágono. Aunque el hexágono no cambió su forma inicial, la medida de sus lados aumentó tres veces, pero sus ángulos internos se mantuvieron sin cambios.
A través de una relación de dilatación, podemos garantizar que los hexágonos son similares, pero el más grande es tres veces el tamaño del más pequeño.
Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas
