Tronco cónico: que es, elementos, fórmulas

O tronco de un cono es el sólido formado por parte inferior del cono al realizar una sección a cualquier altura paralela a la base. cuando cortamos el cono a cualquier altura, se divide en dos sólidos geométricos, un cono más pequeño que el anterior y el tronco de un cono.

El tronco del cono tiene fórmulas específicas para que sea posible calcular el área total y el volumen de este sólido geométrico.

Lea también: ¿Qué son los sólidos de Platón?

Elementos del tronco del cono

El tronco de un cono se forma cuando haces una sección en un cono.

El tronco de un cono es un caso especial de cuerpos redondos. Recibe su nombre porque, en un cono, cuando hacemos una sección paralela a la base, se divide en dos partes. La parte inferior es el tronco del cono.

Dado el tronco de un cono, hay elementos importantes en este sólido, que reciben nombres específicos.

R → radio de la base más grande

h → altura del cono

r → radio de la base más pequeña

g → generatriz del cono del tronco

Podemos ver que el tronco del cono está compuesto por

dos caras en forma de círculo, que se conocen como bases. Además, uno de ellos siempre tiene un radio menor que el otro. Por lo tanto, r

Generador de cono de tronco

Dado un tronco cónico, es posible Calcule el valor generador de este sólido usando el teorema de Pitágoras, cuando conocemos los radios de la base más grande y más pequeña, además de la altura.

g² = h² + (R - r) ²

Ejemplo:

Encuentre la generatriz de un cono de tronco que tenga una altura de 8 cm, un radio de la base mayor igual a 10 cm y el radio de la base menor a 4 cm.

Para encontrar el tronco de la generatriz del cono, tenemos que:

h = 8
R = 10
r = 4

Sustituyendo en la fórmula:

g² = h² + (R - r) ²
g² = 8² + (10 - 4) ²
g² = 64 + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = √100
g = 10 cm

Vea también: ¿Cómo encontrar el centro de un círculo?

Volumen del cono del tronco

Para calcular el volumen del tronco del cono, usamos la fórmula:

Conociendo los valores de altura, el radio de la base más grande y el radio de la base más pequeña, es posible calcular el volumen del tronco de un cono.

Ejemplo:

Encuentre el volumen de un cono de tronco que tiene una altura igual a 6 cm, el radio de la base más grande es de 8 cm y el radio de la base más pequeña es de 4 cm. Utilice π = 3,1.

Planificación del tronco de un cono

LA cepillado de un sólido geométrico y el representación de sus rostros de forma bidimensional. Vea a continuación el cepillado del tronco del cono.

Área total del tronco del cono

Conociendo el plano de un tronco de cono, es posible calcular el valor del área total de este sólido geométrico. Sabemos que se compone de dos bases en forma de círculo y también por su zona lateral. El área total del tronco de un cono es la suma de las áreas de estas tres regiones:

LA_T = A_B + A_B + A_allí

LA_T → área total

LA_B → área de base más grande

LA_B → área de base más pequeña

LA_L → área lateral

Tenga en cuenta que las bases son círculos y que el área lateral comienza desde un círculo, entonces:

LA_allí = πg (R + r)

LA_B = πR²

LA_B = πr²

Ejemplo:

Calcule el área total del tronco del cono que tiene una altura igual a 12 cm, radio de base mayor igual a 10 cm y radio de base menor a 5 cm. Utilice π = 3.

Primero encontraremos la generatriz para calcular el área lateral:

g² = 12² + (10 - 5) ²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = √169
g = 13

LA_allí = πg (R + r)
LA_allí = 3 · 13 (10 + 5)
LA_allí = 39 · 15
LA_allí = 39 · 15
LA_allí = 585 cm²

Ahora calcularemos el área de cada una de las bases:

LA_B = πR²
LA_B = 3 · 10²
LA_B = 3 · 100
LA_B = 300 cm²

LA_B = πr²
LA_B= 3 · 5²
LA_B= 3 · 25
LA_B= 75 cm²

LA_T = A_B + A_B + A_allí
LA_T = 300+ 75 + 585 = 960 cm²

Vea también: ¿Cuáles son las diferencias entre círculo y circunferencia?

Ejercicios resueltos

Pregunta 1 - (Enem 2013) Un cocinero, experto en la elaboración de pasteles, utiliza un molde en el formato que se muestra en la figura:

Identifica la representación de dos figuras geométricas tridimensionales. Estas cifras son:

A) un tronco de cono y un cilindro.

B) un cono y un cilindro.

C) un tronco de pirámide y un cilindro.

D) dos troncos cónicos.

E) dos cilindros.

Resolución

Alternativa D. Analizando los sólidos geométricos, los dos tienen dos caras circulares de diferentes tamaños, por lo que son cono troncocónicos.

Pregunta 2 - (Nucepe) Cómo es y para qué sirve principalmente una taza, todos lo sabemos: servir bebidas, especialmente las calientes. Pero, ¿de dónde surgió la idea de crear un "vaso con asa"?

El té, de origen oriental, se servía inicialmente en ollas redondas sin asa. Según la tradición, esto fue incluso una advertencia para quienes llevaban a cabo la ceremonia de beber: si el recipiente quemaba las yemas de los dedos, hacía demasiado calor para beber. A la temperatura ideal, no molestaba, ni siquiera en contacto directo con la porcelana.

Fuente: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Consultado el 01/06/2018.

Una taza de té tiene la forma de un tronco de cono recto, como se muestra en la figura siguiente. ¿Cuál es el volumen máximo aproximado de líquido que puede contener?

A) 168 cm³

B) 172 cm³

C) 166 cm³

D) 176 cm³

E) 164 cm³

Resolución

Alternativa D.

Para encontrar el volumen, primero calculemos el valor de cada uno de los rayos. Para hacer esto, simplemente divida el diámetro por dos.

R = 8/2 = 4

r = 4/2 = 2

Además del radio, sabemos que h = 6.

Entonces, tenemos que:

El valor más cercano es 176 cm³.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tronco-cone.htm