O volumen de la esfera es el espacio ocupado por este sólido geométrico. A través del rayo de pelota — es decir, a partir de la distancia entre el centro y la superficie — es posible calcular su volumen.
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Resumen sobre el volumen de la esfera.
La esfera es un cuerpo redondo obtenido al girar un semicírculo alrededor de un eje que contiene el diámetro.
Todos los puntos de una esfera están a una distancia igual o menor que r del centro de la esfera.
El volumen de la esfera depende de la medida del radio.
La formula del volumen de la esfera es \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Video lección sobre el volumen de la esfera.
¿Qué es esfera?
Considere un punto O en el espacio y un segmento con medida r. la esfera es la sólido formado por todos los puntos que están a una distancia igual o menor que r de O. Llamamos O al centro de la esfera y r al radio de la esfera.
la esfera también se puede caracterizar como un sólido de revolución. Tenga en cuenta que la rotación de un semicírculo alrededor de un eje que contiene su diámetro forma una esfera:
Fórmula de volumen de esfera
Para calcular el volumen V de una esfera, usamos la siguiente fórmula, donde r es el radio de la esfera:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Es importante observar la unidad de medida radio para determinar la unidad de medida del volumen. Por ejemplo, si r se da en cm, entonces el volumen se debe dar en cm³.
¿Cómo calcular el volumen de la esfera?
El cálculo del volumen de la esfera depende únicamente de la medida del radio. Veamos un ejemplo.
Ejemplo: Usando la aproximación π = 3, encuentra el volumen de una pelota de baloncesto que tiene 24 centímetros de diámetro.
Como el diámetro es el doble del radio, r = 12 cm. Aplicando la fórmula para el volumen de la esfera, tenemos
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\cm^3\)
regiones de la esfera
Considere una esfera con centro O y radio r. Así, podemos considerar tres regiones de esta esfera:
La región interior está formada por los puntos cuya distancia al centro es menor que el radio. Si P pertenece a la región interior de la esfera, entonces
\(D(P, O)
La región superficial está formada por los puntos cuya distancia al centro es igual al radio. Si P pertenece a la región de la superficie de la esfera, entonces
\(D(P, O)=r\)
La región exterior está formada por los puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio. Si P pertenece a la región interior de la esfera, entonces
\(D(P, O)>r\)
En consecuencia, los puntos en la región exterior de la esfera no pertenecen a la esfera.
Sepa mas: Casquillo esférico: sólido obtenido cuando una esfera es intersecada por un plano.
Otras fórmulas de esfera
A área de la esfera —es decir, la medida de su superficie— también tiene una fórmula conocida. Si r es el radio de la esfera, su área A se calcula por
\(A=4·π·r^2\)
En este caso, también es importante anotar la unidad de medida del radio para indicar la unidad de medida del área. Por ejemplo, si r está en cm, entonces A debe estar en cm².
Ejercicios resueltos sobre el volumen de la esfera
Pregunta 1
¿Cuál es el radio de una esfera que tiene un volumen de 108 centímetros cúbicos? (Utilice π = 3).
a) 2cm
b) 3cm
c) 4cm
d) 5cm
mi) 6cm
Resolución
alternativa b
Considere eso r es el radio de la esfera. Sabiendo que V = 108, podemos usar la fórmula para el volumen de la esfera:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\cm\)
Pregunta 2
Un antiguo depósito esférico tiene 20 metros de diámetro y un volumen V1. Se desea construir un segundo embalse, de volumen V2, con el doble del volumen del antiguo embalse. Entonces, v.2 es igual a
El) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
Es) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Resolución
E alternativa.
Como el diámetro es el doble del radio, el depósito antiguo tiene un radio r = 10 metros. Por lo tanto
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Por la declaración, \(V_2=2·V_1\), o sea
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm