A tangente (abreviado como tg o tan) es un Funcion trigonometrica. Para determinar la tangente de un ángulo, podemos utilizar diferentes estrategias: calcular la relación entre el seno y el coseno del ángulo, si se conocen; usar una tabla de tangentes o una calculadora; calcular la razón entre el cateto opuesto y el contiguo, si el ángulo en cuestión es interno (agudo) de un triángulo rectángulo, entre otros.
Lea también: ¿Para qué sirve el círculo trigonométrico?
Temas de este artículo
- 1 - Resumen sobre la tangente
- 2 - Tangente de un ángulo
- 3 - Tangente de ángulos notables
-
4 - ¿Cómo calcular la tangente?
- → Gráfica de la función tangente
- 5 - Ley de las tangentes
- 6 - Razones trigonométricas
- 7 - Ejercicios resueltos sobre la tangente
resumen sobre la tangente
La tangente es una función trigonométrica.
La tangente de un ángulo interior a un triángulo rectángulo es la razón del lado opuesto al lado adyacente.
La tangente de cualquier ángulo es la razón del seno y el coseno de ese ángulo.
La función \(f(x)=tg\x\) se define para ángulos X expresado en radianes, tal que cos \(porque\ x≠0\).
La gráfica de la función tangente muestra asíntotas verticales para los valores, donde \(x= \frac{π}2+kπ\), con k entero, como \(x=-\frac{π}2\).
La ley de las tangentes es una expresión que asocia, en cualquier triángulo, las tangentes de dos ángulos y los lados opuestos a esos ángulos.
Tangente de un ángulo
Si α es uno ángulo interno de un triángulo rectángulo, la tangente de α es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente:
Para cualquier ángulo α, la tangente es la razón entre el sen α y el coseno de α, donde \(porque\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sen\ α}{cos\ α}\)
Cabe señalar que si α es un ángulo en el 1er o 3er cuadrante, la tangente tendrá signo positivo; pero si α es un ángulo del 2º o 4º cuadrante, la tangente tendrá signo negativo. Esta relación resulta directamente de la regla de signos entre los signos de seno y coseno para cada α.
Importante: Nótese que la tangente no existe para valores de α donde \(cos\ α=0\). Esto sucede para ángulos de 90°, 270°, 450°, 630° y así sucesivamente. Para representar estos ángulos de forma general, usamos la notación en radianes: \(\frac{π}2+kπ\), con k entero.
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Tangente de ángulos notables
Usando la expresión \(tg\ α=\frac{sen\ α}{cos\ α}\), podemos encontrar las tangentes de ángulos notables, que son los ángulos de 30°, 45° y 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sen\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sen\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sen\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Interesante: Además de estos, podemos analizar los valores de tangente para los ángulos de 0° y 90°, que también son muy utilizados. Como sen 0° = 0, concluimos que tan 0° = 0. Para el ángulo de 90°, como cos90° = 0, la tangente no existe.
¿Cómo calcular la tangente?
Para calcular la tangente, usamos la fórmula tg α=sin αcos α, utilizada para calcular la tangente de cualquier ángulo. Veamos algunos ejemplos a continuación.
Ejemplo 1
Encuentra la tangente del ángulo α en el siguiente triángulo rectángulo.
Resolución:
Respecto al ángulo α, el lado de medida 6 es el lado opuesto y el lado de medida 8 es el lado contiguo. Así:
\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)
Ejemplo 2
Sabiendo que \(sen\ 35°≈0.573\) y porque\(35°≈0,819\), encuentre el valor aproximado para la tangente de 35°.
Resolución:
Como la tangente de un ángulo es la razón entre el seno y el coseno de ese ángulo, tenemos:
\(tg\ 35°=\frac{sen\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)
\(tg\ 35°≈0.700\)
función tangente
La función fx=tg x está definida para ángulos X expresado en radianes, de modo que \(porque\ x≠0\). Esto significa que el dominio de la función tangente se expresa por:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Además, todos numeros reales son la imagen de la función tangente.
→ Gráfica de la función tangente
Tenga en cuenta que la gráfica de la función tangente tiene asíntotas verticales para los valores donde \(x= \frac{π}2+kπ\), con k entero, como \(x=-\frac{π}2\). Para estos valores de X, la tangente no está definida (es decir, la tangente no existe).
Vea también: ¿Qué es dominio, rango e imagen?
ley de las tangentes
La ley de las tangentes es una expresión que asocia, en un triángulo cualquiera, las tangentes de dos ángulos y los lados opuestos a esos ángulos. Por ejemplo, considere los ángulos α y β del triángulo ABC a continuación. Note que el lado CB = a es opuesto al ángulo α y que el lado AC = b es opuesto al ángulo β.
La ley de las tangentes establece que:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )
razones trigonométricas
Hacia razones trigonométricas son las funciones trigonométricas trabajadas en el triángulo rectángulo. Interpretamos estas razones como relaciones entre los lados y los ángulos de este tipo de triángulo.
Ejercicios resueltos sobre la tangente
Pregunta 1
Sea θ un ángulo del segundo cuadrante tal que sen\(sen\ θ≈0.978\), entonces tgθ es aproximadamente:
A) -4.688
B) 4.688
c) 0.2086
D) -0,2086
mi) 1
Resolución
Alternativa A
si \(sen\ θ≈0.978\), entonces, usando la identidad fundamental de la trigonometría:
\(sen^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0.978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0.956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)
Como θ es un ángulo del segundo cuadrante, entonces cosθ es negativo, por lo tanto:
\(cos\ θ≈- 0.2086\)
Pronto:
\(tg\ θ=\frac{sen\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)
Pregunta 2
Considere un triángulo rectángulo ABC con catetos AB = 3 cm y AC = 4 cm. La tangente del ángulo B es:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
Y) \(\frac{5}3\)
Resolución:
Alternativa C
Por el enunciado, el cateto opuesto al ángulo \(\sombrero{B}\) es el AC que mide 4 cm y el cateto adyacente al ángulo \(\sombrero{B}\) es AB con una medida de 3 cm. Así:
\(tg\sombrero{C}=\frac{4}3\)
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas
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