bisectriz y el linea perpendicular a un segmento que corta a su punto medio. Podemos construir la mediatriz de un segmento usando regla y compás. En un triángulo, las bisectrices son rectas perpendiculares a los lados que contienen sus puntos medios. Así, un triángulo tiene tres bisectrices perpendiculares. El punto donde se encuentran estas bisectrices se llama circuncentro y constituye el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Lea también: Distancia entre dos puntos — el camino más corto entre dos puntos en el plano cartesiano
Resumen sobre la bisectriz perpendicular
bisectriz es la derecho perpendicular a un segmento que pasa por el punto medio.
Los puntos de una mediatriz son equidistantes de los extremos del segmento.
La mediatriz se puede construir con regla y compás.
La ecuación de una bisectriz perpendicular se puede determinar a partir de las coordenadas de los extremos del segmento.
Un triángulo tiene tres bisectrices perpendiculares, una con respecto a cada lado.
El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo se llama circuncentro. Este punto es el centro del círculo circunscrito del triángulo.
La bisectriz de un triángulo difiere de la mediana, la bisectriz y la altura de un triángulo.
¿Qué es mediadora?
Dado un segmento, la bisectriz perpendicular es la recta perpendicular a la segmento que intercepta tu punto medio.
Una consecuencia importante de esta definición es que todos los puntos de una bisectriz perpendicular están a la misma distancia de los extremos del segmento. En simbología matemática, si AB es un segmento y el punto P pertenece a la bisectriz, entonces PA = PB.
¿Cómo construir la bisectriz?
Para construir la mediatriz de un segmento, solo necesitamos regla y compás. Los pasos para la construcción son los siguientes:
Paso 1: Dado un segmento AB, abra el compás con una longitud mayor que la mitad del segmento. Sugerencia: una posibilidad es utilizar la longitud del propio segmento.
Paso 2: dibujar uno circunferencia con centro en un extremo del segmento y radio con la medida elegida en el paso 1.
Paso 3: Repita el paso 2 para el otro extremo del segmento.
Etapa 4: Une los puntos de intersección de los círculos con la regla.
¿Cómo encontrar la ecuación de la bisectriz?
Como la bisectriz perpendicular es una línea recta, podemos determinar una ecuación que describe sus puntos, siendo r la recta que contiene un segmento AB regalado, s la bisectriz de este segmento y PAG (x, y) cualquier punto de la mediatriz.
Suponiendo que las coordenadas de los puntos A Es B son conocidos, podemos obtener el coeficiente angular norte de la recta r. Como r Es s son perpendiculares, la pendiente metro de la recta s (la bisectriz perpendicular) también se puede encontrar, ya que es el opuesto del inverso multiplicativo de norte. Usando la expresión de la ecuación fundamental de la línea, \(y-y_0=m (x-x_0)\), en que \(M(x\_0,y\_0)\) es el punto medio de AB, hemos completado la ecuación de la bisectriz.
Ejemplo:
Determina la ecuación de la bisectriz del segmento determinado por los puntos A(1,2) y B(3,6).
Resolución:
Primero, obtengamos la pendiente. norte de la recta r que contiene el segmento AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Ahora buscamos el punto medio M del segmento AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Recuerda que la bisectriz perpendicular s deseado es perpendicular a la línea r (que contiene el segmento AB). Entonces, el coeficiente angular metro de la recta s y el coeficiente angular norte de la recta r están relacionados de la siguiente manera:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Por lo tanto, \(m_s=\frac{-1}2\).
Finalmente, usamos la ecuación fundamental de la recta para determinar la bisectriz s, recta que tiene pendiente igual a \(-\frac{1}2\) y pasa por el punto (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0)\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2x+5\)
bisectriz de un triangulo
Los tres lados de un triángulo son segmentos de línea. Así, el término “bisectriz de un triángulo” se refiere a la bisectriz de uno de los lados de esta figura geométrica. Por lo tanto, el triangulotiene tres bisectrices. Vea abajo:
El punto donde se unen las bisectrices de un triángulo se llama circuncentro., ya que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo).
Importante:Como el circuncentro es un punto común a las tres mediatrices, su distancia a cada uno de los vértices es la misma. En simbología matemática, si D es el circuncentro del triangulo A B C, entonces \(AD=BD=CD\).
Diferencias entre bisectriz, mediana, bisectriz y altura de un triángulo
La bisectriz, la mediana, la bisectriz y la altura de un triángulo son conceptos diferentes. Veamos cada uno individualmente y luego juntos.
Bisectriz de un triángulo: es la recta perpendicular a uno de los lados que corta a su punto medio.
mediana de un triangulo: es el segmento con extremos en un vértice del triángulo y en el punto medio del lado opuesto al vértice.
Bisectriz de un triángulo: es el segmento que divide por la mitad uno de los anglos lados del triángulo, con extremos en uno de los vértices y en el lado opuesto.
Altura de un triangulo: es el segmento perpendicular a uno de los lados que termina en el ángulo opuesto al lado.
En la siguiente imagen, destacamos, en relación al segmento BC del triángulo, la altura (línea de puntos, trazo en naranja), la bisectriz (línea discontinua en violeta), la mediana (línea punteada en verde) y la bisectriz perpendicular (línea continua en rojo).
Importante: En un triángulo equilátero, es decir, que tiene los tres lados y los tres ángulos iguales, coinciden las bisectrices, medianas, bisectrices y alturas. En consecuencia, el puntos notables de un triangulo (circuncentro, baricentro, incentro y ortocentro) también coinciden. En la siguiente imagen destacamos, en relación al segmento BC, la bisectriz, la mediana, la bisectriz y la altura en una línea negra continua. El punto resaltado E es por lo tanto el circuncentro, baricentro, incentro y ortocentro del triángulo ABC.
Vea también: Relaciones métricas en el triángulo equilátero inscrito: ¿qué son?
Ejercicios resueltos de bisectriz
Pregunta 1
Considere las siguientes declaraciones.
i. La bisectriz de un triángulo es el segmento que parte de un vértice y cruza el punto medio del lado opuesto.
II. El punto donde se unen las bisectrices de un triángulo se llama circuncentro. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo y equidistante de los vértices.
tercero La bisectriz de un segmento es la recta perpendicular que corta al segmento en el punto medio.
¿Qué alternativa contiene la(s) correcta(s)?
a) Yo, solamente.
B) II, únicamente.
C) III, únicamente.
D) I y II.
E) II y III.
Resolución:
Alternativa E
La declaración I es la única incorrecta, ya que describe la mediana de un triángulo.
Pregunta 2
(Enem — adaptado) En los últimos años, la televisión ha vivido una auténtica revolución en cuanto a calidad de imagen, sonido e interactividad con el espectador. Esta transformación se debe a la conversión de la señal analógica a la señal digital. Sin embargo, muchas ciudades aún no cuentan con esta nueva tecnología. Buscando llevar estos beneficios a tres ciudades, una televisora pretende construir una nueva torre de transmisión que envíe señal a las antenas A, B y C, ya existentes en estas ciudades. Las ubicaciones de las antenas se representan en el plano cartesiano:
La torre debe ubicarse equidistante de las tres antenas. El lugar idóneo para la construcción de esta torre corresponde al punto de coordenadas
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Resolución:
Alternativa E
Tenga en cuenta que la ubicación de la torre debe ser el circuncentro del triángulo formado por los puntos A, B y C, ya que es la ubicación equidistante de las tres antenas.
Las coordenadas de la torre T son\( (x_t, y_t)\). Como T pertenece a la bisectriz de AB (dada por la recta x = 50), la ubicación horizontal de la torre debe ser \(x_t=50\).
Para determinar la coordenada horizontal \(y_t\) de la torre, podemos usar la expresión de la distancia entre dos puntos dos veces. Como la torre es equidistante, por ejemplo, de los vértices A y C (AT = CT), tenemos:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t)^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t)^2}\)
Simplificando, obtenemos \(y_t=30\).
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas
