LA ecuación de primer grado es una ecuación que tiene una incógnita de grado 1. Las ecuaciones son oraciones matemáticas que tienen incógnitas, que son letras que representan valores desconocidos e igualdad. La oración matemática de la ecuación de primer grado es losx + B = 0, donde los y B son números reales y los es diferente de 0. El propósito de escribir una ecuación de primer grado es encontrar cuál es el valor de la incógnita que satisface la ecuación. Este valor se conoce como solución o raíz de la ecuación.
Lea también: Ecuación exponencial — la ecuación que tiene al menos una incógnita en uno de sus exponentes
Temas en este artículo
- 1 - Resumen de la ecuación de primer grado
- 2 - ¿Qué es una ecuación de 1er grado?
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3 - ¿Cómo calcular la ecuación de primer grado?
- → Ecuación de 1er grado con incógnita
- ? Ecuación de primer grado con dos incógnitas
- 4 - Ecuación de 1er grado en Enem
- 5 - Ejercicios resueltos de ecuación de 1er grado
Resumen de la ecuación de primer grado
La ecuación de 1er grado es una oración matemática que tiene incógnitas de 1 grado.
La ecuación de primer grado con una incógnita tiene solución única.
La oración matemática que describe la ecuación de primer grado con una incógnita es losx + B = 0.
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, realizamos operaciones en ambos lados de la igualdad, con el fin de aislar la incógnita y encontrar su valor.
La ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
La oración matemática que describe la ecuación de primer grado con dos incógnitas es losx + By + c = 0
La ecuación de 1er grado es un término recurrente en Enem, que suele venir con preguntas que requieren la interpretación del texto y el montaje de la ecuación antes de resolverla.
¿Qué es la ecuación de primer grado?
La ecuación es una oración matemática que tiene una igualdad y una o más incógnitas.. Las incógnitas son valores desconocidos y usamos letras, como x, y, z, para representarlos.
Lo que determina el grado de una ecuación es el exponente de la incógnita. Siendo así, cuando el exponente de la incognita tiene grado 1, tenemos una ecuacion de 1er grado. Ver ejemplos a continuación:
2x + 5 = 9 (ecuación de primer grado con una incógnita, x)
y – 3 = 0 (ecuación de primer grado con una incógnita, y)
5x + 3y – 3 = 0 (ecuación de primer grado con dos incógnitas, x e y)
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¿Cómo calcular la ecuación de primer grado?
Representamos una situación dada como una ecuación cuando pretendemos encontrar los valores que puede tomar la incógnita que hace que la ecuación sea cierta, es decir, encontrar las soluciones o la solución de la ecuación. Veamos a continuación cómo encontrar la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita y las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
→ ecuación de primer grado con una incógnita
LA ecuación de primer grado con una incógnita es la ecuación del tipo:
\(ax+b=0\ \)
En esa oración, los y B son números reales. Usamos el símbolo de igualdad como referencia. Antes tenemos el primer miembro de la ecuación y después del signo igual tenemos el segundo miembro de la ecuación.
Para encontrar la solución a esta ecuación, buscamos aislar la variable x. vamos a restar B en ambos lados de la ecuación:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Ahora vamos a dividir por los a ambos lados:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Importante:Este proceso de realizar una acción en ambos lados de la ecuación a menudo se describe como "pasar al otro lado" o "pasar al otro lado haciendo la operación inversa".
Ejemplo 1:
Encuentre la solución a la ecuación:
2x - 6 = 0
Resolución:
Para aislar la variable x, agreguemos 6 a ambos lados de la ecuación:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Ahora, dividiremos por 2 de ambos lados:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
Encontramos como solución a la ecuación x = 3. Esto significa que si sustituimos 3 en lugar de x, la ecuación será verdadera:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
Ejemplo 2:
Podemos resolver la ecuación más directamente usando el método práctico:
\(5x+1=-\ 9\)
Primero, definamos cuál es el primer miembro de la ecuación y cuál es el segundo miembro de la ecuación:
Para encontrar la solución de la ecuación, aislaremos la incógnita en el primer miembro de la ecuación. Para ello, lo que no sea desconocido se le pasará al segundo integrante haciendo la operación inversa, comenzando por +1. Como va sumando, pasará al segundo miembro restando:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
Queremos el valor de x, pero encontramos el valor de 5x. Como 5 está multiplicando x, pasará al lado derecho haciendo la operación inversa de multiplicación, es decir, dividir.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
La solución a esta ecuación es x = - 2.
Ejemplo 3:
Resuelve la ecuación:
\(5x+4=2x-6\)
Para resolver esta ecuación, pondremos inicialmente los términos que tienen incógnita en el primer miembro y los términos que no tienen incógnita en el segundo miembro. Para ello, vamos a identificarlos:
\({\color{rojo}5}{\color{rojo}x}+ 4 = {\color{rojo}2}{\color{rojo}x}\ –\ 6\)
En rojo están los términos que tienen incógnita, 5x y 2x, y en negro, los términos que no tienen incógnita. Como + 4 no tiene incógnita, pasemoslo al segundo miembro restando.
\(\color{rojo}{5x}=\color{rojo}{2x}-6-4\)
Tenga en cuenta que 2x tiene una incógnita, pero está en el segundo miembro. Se lo pasaremos al primer miembro, restando 5x:
\({\color{rojo}{5x}-\color{rojo}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
Ahora, pasando los 3 dividiendo, tenemos que:
\(x=-\frac{10}{3}\)
Importante: La solución a una ecuación puede ser una fracción, como en el ejemplo anterior.
◆ Lección en video sobre la ecuación de primer grado con una incógnita
➝ Ecuación de primer grado con dos incógnitas
Cuando hay una ecuación de primer grado que tiene dos incógnitas, no hay una solución única, sino infinitas soluciones. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una ecuación del tipo:
\(hacha+por+c=0\)
Para encontrar algunas de las infinitas soluciones de la ecuación, asignamos un valor a una de sus variables y encontramos el valor de la otra variable.
Ejemplo:
Encuentre 3 posibles soluciones a la ecuación:
\(2x+y+3=0\)
Resolución:
Para encontrar 3 soluciones, elegiremos algunos valores para la variable x, comenzando con x = 1:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
Aislando y en el primer miembro, tenemos que:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Entonces, una posible solución a la ecuación es x = 1 e y = - 5.
Para encontrar una solución más de la ecuación, asignemos un nuevo valor a cualquiera de las variables. Haremos y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
Aislando x:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
La segunda solución de esta ecuación es x = - 2 y y = 1.
Finalmente, para encontrar una tercera solución, elegiremos un nuevo valor para una de sus variables. Haremos x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
La tercera solución es x = 0 e y = -3.
Podemos representar estas tres soluciones como pares ordenados, de la forma (x, y). Las soluciones encontradas para la ecuación fueron:
\(\izquierda (1,-5\derecha);\ \izquierda(-2,\ 1\derecha);\izquierda (0,-3\derecha)\)
Importante: Como esta ecuación tiene dos incógnitas, tenemos infinitas soluciones. Los valores de las variables se eligieron al azar, por lo que pudimos asignar otros valores completamente diferentes a las variables y encontrar otras tres soluciones a la ecuación.
Sepa mas: Ecuación de segundo grado: ¿cómo calcular?
Ecuación de 1er grado en Enem
Las preguntas que involucran ecuaciones de primer grado en Enem requieren que el candidato sea capaz de transformar situaciones problema en ecuaciones, utilizando datos de pronunciación. Para mayor claridad, consulte la competencia del área 5 de Matemáticas.
Área 5 Competencia: Modelar y resolver problemas que involucren variables socioeconómicas o técnico-científicas, utilizando representaciones algebraicas.
Nótese entonces que en Enem se espera que el candidato pueda modelar situaciones problema de nuestra vida diaria y resolverlas mediante una ecuación. Dentro de esta competencia, hay dos habilidades específicas que involucran ecuaciones que Enem busca evaluar: la habilidad 19 y la habilidad 21.
H19: Identificar representaciones algebraicas que expresen la relación entre cantidades.
H21: Resolver una situación problema cuya modelación implique conocimientos algebraicos.
Entonces, si estás estudiando para el Enem, además de dominar la resolución de ecuaciones de 1er grado, es importante entrenarte en la interpretación de problemas que involucren ecuaciones, porque desarrollar la capacidad de modelar situaciones problemáticas escribiéndolas como una ecuación, para el Enem, es tan importante como poder resolver las ecuación.
Ejercicios resueltos de ecuaciones de 1er grado
Pregunta 1
(Enem 2012) Las curvas de oferta y demanda de un producto representan, respectivamente, las cantidades que los vendedores y consumidores están dispuestos a vender en función del precio del producto. En algunos casos, estas curvas se pueden representar con líneas rectas. Suponga que las cantidades de oferta y demanda de un producto están, respectivamente, representadas por las ecuaciones:
qO = –20 + 4P
qD = 46 - 2P
en que qO es la cantidad de oferta, QD es la cantidad demandada y P es el precio del producto.
A partir de estas ecuaciones de oferta y demanda, los economistas encuentran el precio de equilibrio del mercado, es decir, cuando QO y qD igual. Para la situación descrita, ¿cuál es el valor del precio de equilibrio?
a) 5
B) 11
C) 13
D) 23
mi) 33
Resolución:
Alternativa B
Para encontrar el precio de equilibrio, simplemente igualamos las dos ecuaciones:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
Pregunta 2
(Enem 2010) El triple salto es una modalidad de atletismo en la que el atleta salta sobre un pie, un paso y un salto, en ese orden. El salto con despegue en un pie se hará de modo que el atleta aterrice primero en el mismo pie que dio el despegue; en la zancada aterrizará con el otro pie, desde el cual se realiza el salto.
Disponible en: www.cbat.org.br (adaptado).
Un deportista de la modalidad de triple salto, tras estudiar sus movimientos, se dio cuenta de que, del segundo al primer salto, el alcance disminuyó en 1,2 m, y del tercer al segundo salto, el alcance disminuyó en 1,5 metro. Queriendo llegar a la meta de 17,4 m en esta prueba y teniendo en cuenta tus estudios, la distancia alcanzada en el primer salto tendría que estar entre
A) 4,0 m y 5,0 m.
B) 5,0 m y 6,0 m.
C) 6,0 m y 7,0 m.
D) 7,0 m y 8,0 m.
E) 8,0 m y 9,0 m.
Resolución:
Alternativa D
En el primer salto alcanza una distancia de x metros.
En el segundo salto, la distancia disminuye en 1,2 m desde el primer salto, por lo que alcanza una distancia de x - 1,2 metros.
En el tercer salto, la distancia disminuye en 1,5 m desde el segundo salto, por lo que la distancia recorrida en el tercer salto es x – 1,2 – 1,5 metros, que es lo mismo que x – 2,7 metros.
Sabemos que la suma de estas distancias debe ser igual a 17,4 metros, entonces:
\(x+x-1.2+x-2.7=17.4\)
\(3x-3.9=17.4\)
\(3x=17.4+3.9\)
\(3x=21.3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7.1\)
Así, la distancia alcanzada en el primer salto está entre 7,0 y 8,0 metros.
Por Raúl Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
