LA El teorema de la bisectriz interna fue desarrollado específicamente para triangulos y muestra que cuando trazamos la bisectriz interna de un ángulo del triángulo, el punto de encuentro de la bisectriz con el lado opuesto divide ese lado en segmentos de linea proporcional a los lados adyacentes de ese ángulo. Con la aplicación del teorema de la bisectriz interna es posible determinar el valor del lado o segmentos del triángulo usando la proporción entre ellos.
Vea también: Mediana, bisectriz del ángulo y altura de un triángulo: ¿cuál es la diferencia?
Resumen sobre el teorema de la bisectriz interna:
La bisectriz es una rayo que divide el ángulo en dos ángulos congruentes.
El teorema de la bisectriz interna es específico de los triángulos.
Este teorema prueba que la bisectriz divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes a ángulo.
Lección en video sobre el teorema de la bisectriz interna
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¿Qué es el teorema de la bisectriz?
Antes de entender lo que dice el teorema de la bisectriz interna, es importante saber qué es bisectriz de un ángulo. Es un rayo que divide el ángulo en dos partes congruentes., es decir, dos partes que tienen la misma medida.
Entendiendo qué es la bisectriz, notamos que existe en el ángulo interior de un triángulo. Cuando delineamos la bisectriz de un ángulo del triángulo, dividirá el lado opuesto en dos segmentos. En cuanto a la bisectriz interna, su teorema dice que los dos segmentos divididos por él son proporcionales a los lados adyacentes del ángulo.
Tenga en cuenta que la bisectriz divide el lado AC en dos segmentos, AD y DC. El teorema de la bisectriz muestra que:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Sepa mas: Teorema de Pitágoras: otro teorema desarrollado para triángulos
Prueba del teorema de la bisectriz interna
En el triángulo ABC de abajo, demarcaremos el segmento BD, que es la bisectriz de este triángulo. Además, trazaremos la prolongación de su lado CB y el segmento AE, paralelo a BD:
El ángulo AEB es congruente con el ángulo DBC, porque CE es un derecho transversal a los segmentos paralelos AE y BD.
aplicando el teorema de Tales, concluimos que:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Ahora nosotros queda por demostrar que BE = AB.
Como x es la medida del ángulo ABD y DBC, analizando el ángulo ABE se obtiene:
ABE = 180 - 2x
Si y es la medida del ángulo EAB, tenemos la siguiente situación:
sabemos que el suma de los angulos interiores del triangulo ABE es 180°, entonces podemos calcular:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Si el ángulo x y el ángulo y tienen la misma medida, el triángulo ABE es isósceles. Por tanto, el lado AB = AE.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a 180°, en el triángulo ACE tenemos:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Como y = x, el triángulo ACE es isósceles. Por tanto, los segmentos AE y AC son congruentes. Cambiando AE por AC en razón, se demuestra que:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Ejemplo:
Encuentre el valor de x en el siguiente triángulo:
Analizando el triángulo, obtenemos la siguiente razón:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Multiplicación cruzada:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Lea también: Puntos notables de un triángulo: ¿qué son?
Ejercicios resueltos sobre el teorema de la bisectriz interna
Pregunta 1
Mirando el triángulo de abajo, podemos decir que el valor de x es:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
mi) 13
Resolución:
Alternativa D
Aplicando el teorema de la bisectriz interna, obtenemos el siguiente cálculo:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Multiplicación cruzada:
\(27x=18\ \izquierda (30-x\derecha)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
Pregunta 2
Analiza el siguiente triángulo, sabiendo que tus medidas fueron dadas en centímetros.
El perímetro del triángulo ABC es igual a:
A) 75cm
B) 56cm
c) 48cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Resolución:
Alternativa C
Aplicando el teorema de la bisectriz, primero encontraremos el valor de x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \izquierda (4x-9\derecha)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7.5\)
Por lo tanto, los lados desconocidos miden:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Recordando que el longitud del calibre utilizado fue el cm, el perímetro de este triangulo es igual a:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Por Raúl Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
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OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Teorema de la bisectriz interna"; Escuela Brasil. Disponible: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Consultado el 04 de abril de 2022.
