Hexágono es el polígono que tiene 6 lados. Es regular cuando todos los lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Es irregular cuando no tiene estas características. El primer caso es el más estudiado, ya que cuando el hexágono es regular tiene propiedades y fórmulas específicas que nos permiten calcular su área, perímetro y apotema.
Lea también: ¿Qué es un losángulo?
Resumen sobre hexágono
El hexágono es un polígono de 6 lados.
Es regular cuando todos los lados son congruentes.
Es irregular cuando todos los lados no son congruentes.
En un hexágono regular, cada ángulo interior mide 120°.
La suma de anglos bordes exteriores de un hexágono regular es siempre 360°.
Para calcular el área de un hexágono regular, usamos la fórmula:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O perímetro de un hexágono es la suma de sus lados. Cuando es regular, tenemos:
P = 6L
La apotema de un hexágono regular se calcula mediante la fórmula:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
No pares ahora... Hay más después del anuncio ;)
¿Qué es el hexágono?
Hexágono es cualquier polígono que tiene 6 lados, por lo tanto 6 vértices y 6 ángulos. Como es un polígono, es una figura plana cerrada con lados que no se cortan. El hexágono es una forma recurrente en la naturaleza, como en panales, en estructuras de la química Orgánica, en los caparazones de ciertas tortugas y en los copos de nieve.
Video lección sobre polígonos.
elementos hexagonales
Un hexágono está formado por 6 lados, 6 vértices y 6 ángulos interiores.
Vértices: puntos A, B, C, D, E, F.
lados: los segmentos \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Ángulos internos: ángulos a, b, c, d, f.
Clasificación de hexágonos
Los hexágonos, al igual que otros polígonos, se pueden clasificar de dos formas.
hexágono regular
El hexágono es regular cuando tiene todos sus lados congruentes — en consecuencia, sus ángulos también serán congruentes. El hexágono regular es el más importante de todos, siendo el más estudiado. Es posible calcular varios de sus aspectos, como el área, con fórmulas específicas.
Observación: El hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros, es decir, triángulos con todos los lados iguales.
→ hexágono irregular
Hexágono irregular es aquel que tiene lados con diferentes medidas. Puede ser convexo o no convexo.
hexágono irregular convexo
el hexágono es convexo cuando tienes todo el ángulos interiores menores de 180°.
→ Hexágono irregular no convexo
Un hexágono es no convexo cuando tiene ángulos interiores mayores de 180°.
propiedades del hexágono
→ Número de diagonales en un hexágono
La primera propiedad importante es que en un hexágono convexo siempre hay 9 diagonales. Podemos encontrar estas 9 diagonales geométricamente:
También podemos encontrar las diagonales algebraicamente, usando la siguiente fórmula:
\(d=\frac{n\izquierda (n-3\derecha)}{2}\)
Si sustituimos 6 en la ecuación, tenemos:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Entonces, un hexágono convexo siempre tendrá 9 diagonales.
Sepa mas: Diagonal de bloque rectangular: segmento que conecta dos de sus vértices que no están en la misma cara
→ Ángulos interiores de un hexágono
En un hexágono, el la suma de sus angulos interiores es 720°. Para realizar esta suma, simplemente sustituya 6 en la fórmula:
\(S_i=180\izquierda (n-2\derecha)\)
\(S_i=180\izquierda (6-2\derecha)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
En un hexágono regular, los ángulos interiores siempre medirán 120° cada uno, porque
720°: 6 = 120°
→ Ángulos exteriores de un hexágono regular
En cuanto a los ángulos exteriores, sabemos que los Su suma es siempre igual a 360°. Como hay 6 ángulos exteriores, cada uno de ellos medirá 60°, como
360°: 6 = 60°
→ Apotema hexagonal regular
Se considera que una apotema de un polígono regular essegmento de línea conectando el centro del polígono con el punto medio De su lado. Como sabemos, el hexágono regular está compuesto por 6 triángulos equiláteros, por lo que la apotema corresponde a la altura de uno de estos triángulos equiláteros. El valor de este segmento se puede calcular mediante la fórmula:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ perímetro del hexágono
Para calcular el perímetro de un hexágono, simplemente realice el suma de sus 6 lados. Cuando el hexágono es regular, sus lados son congruentes, por lo que es posible calcular el perímetro del hexágono mediante la fórmula:
P = 6L
→ área hexagonal regular
Como sabemos que el hexágono regular está compuesto por 6 triángulos equiláteros de lado L, es posible derivar una fórmula para el cálculo de su área, utilizando el cálculo de la área de uno triángulo equilátero multiplicado por 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Tenga en cuenta que es posible simplificación dividiendo por 2, generando la fórmula para calcular el área del hexágono:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Hexágono inscrito en una circunferencia
Decimos que un polígono está inscrito en un circunferencia cuando él está dentro del círculo, y sus vértices son puntos de este. Podemos representar el hexágono regular inscrito en una circunferencia. Cuando hacemos esta representación, es posible verificar que la longitud del radio del círculo es igual a la longitud del lado del hexágono.
Tambien sabe: Círculo y circunferencia: ¿cuál es la diferencia?
Hexágono circunscrito en un círculo
Decimos que un polígono está circunscrito por una circunferencia cuando la la circunferencia está dentro de este polígono. Podemos representar el hexágono regular circunscrito. En este caso, el círculo es tangente al punto medio de cada lado del hexágono, lo que hace que el radio del círculo sea igual a la apotema del hexágono.
prisma de base hexagonal
LOS Geometria plana es la base para los estudios de Geometría espacial. O el hexágono puede estar presente en la base de los sólidos geométricos, como en prismas.
Para hallar el volumen de un prisma, calculamos el producto del área de la base y la altura. Como su base es un hexágono, su volumen puede ser calculado por:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Lea también: Volumen de sólidos geométricos: ¿cómo calcular?
Pirámide de base hexagonal
Además del prisma hexagonal, también están los pirámides base hexagonal.
para descubrir el volumen de una piramide de base hexagonal, calculamos el producto del área de la base, la altura y dividimos por 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Tenga en cuenta que multiplicamos y dividimos por tres, lo que permite un simplificación. Entonces, el volumen de una pirámide de base hexagonal se calcula mediante la fórmula:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Ejercicios resueltos sobre hexágono
Pregunta 1
Un terreno tiene la forma de un hexágono regular. Desea rodear esta área con alambre de púas, de modo que el alambre rodee el territorio 3 veces. Sabiendo que en total se gastaron 810 metros de alambre para cercar todo el terreno, el área de este hexágono mide, aproximadamente:
(Utilizar \(\sqrt3=1.7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Resolución:
Alternativa B
El perímetro del hexágono regular es
\(P=6L\)
Como se dieron 3 vueltas, se gastó un total de 270 metros para completar una sola vuelta, como sabemos que:
810: 3 = 270
Entonces tenemos:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metros\)
Conociendo la longitud del lado, calcularemos el área:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163.75m^2\)
Redondeando, obtenemos:
\(A\aprox. 5164m^2\)
Pregunta 2
(PUC - RS) Para un engranaje mecánico, se quiere hacer una pieza con forma hexagonal regular. La distancia entre los lados paralelos es de 1 cm, como se muestra en la siguiente figura. El lado de este hexágono mide ______ cm.
LOS) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
C) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
mi) 1
Resolución:
Alternativa B
Respecto al hexágono regular, sabemos que su apotema es la medida desde el centro hasta el punto medio de uno de los lados. Así, la apotema es la mitad de la distancia indicada en la imagen. Entonces, tenemos que:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
La apotema es entonces igual a \(\frac{1}{2}\). Existe una relación entre los lados del hexágono y la apotema, porque en un hexágono regular tenemos:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Como sabemos el valor de la apotema, podemos sustituir \(a=\frac{1}{2}\) en la ecuación:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\raíz cuadrada3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Racionalizando la fracción:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Por Raúl Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
