El dominio, el rango y el rango son conjuntos numéricos relacionados por funciones matemáticas. Estos transforman los valores a través de sus leyes de formación y los transportan de un conjunto de salida, el dominio, a un conjunto de llegada, el rango.
Del dominio conjunto salen los valores que serán transformados por la fórmula de la función, o ley de formación. Posteriormente, estos valores llegan al codominio.
El subconjunto formado por los elementos que llegan al codominio se denomina conjunto imagen.
De esta forma, dominio, rango y rango son conjuntos no vacíos y pueden ser finitos o infinitos.
En el estudio de funciones, es necesario especificar qué elementos o cuál es el alcance de estos conjuntos. Por ejemplo: conjunto de números naturales o conjunto de números reales.
Dado un dominio A en el que cada elemento x que le pertenece es transformado por la función en un elemento y que pertenece al rango B, cada elemento y se llama imagen de x.
Para designar el dominio y el rango de una función, se utiliza la notación:
(leemos f de A a B)
Estas leyes de transformación son expresiones que involucran operaciones y valores numéricos.
Ejemplo
Una función f: A→B definida por la ley de formación f(x) = 2x, donde su dominio es el conjunto A={1, 2, 3} y el rango B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, puede ser representado por los valores de la tabla y el diagramas:
|
Dominio X |
f(x) = 2x |
Imagen y |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Organización de los resultados de la tabla en diagramas:
Dominio
El dominio D de una función f es el conjunto de salida, compuesto por los elementos x aplicados a la función.
Geométricamente, en un plano cartesiano, los elementos del dominio forman el eje x de la abscisa.
en la notación el dominio está representado por la letra antes de la flecha.
Cada elemento x en el dominio tiene al menos una imagen y en el codominio.
codominio
El dominio CD es el conjunto de llegada. en la notación se representa en el lado derecho de la flecha.
Imagen
Imagen Im es un subconjunto del rango, formado por los elementos y que salen de la función y llegan al rango, que pueden tener el mismo número de elementos, o un número menor.
De esta forma el conjunto imagen de una función f está contenido en el codominio.
Geométricamente, en un plano cartesiano los elementos del conjunto de imágenes forman el eje y de las ordenadas.
Es común decir que y es el valor que asume la función f(x) y, de esta forma, escribimos:
Es posible que el mismo elemento y sea imagen de más de un elemento x en el dominio.
Ejemplo
en función definido por la ley
, para valores x simétricos del dominio, tenemos una sola imagen y.
aprender más sobre funciones.
Ejercicios de dominio, codominio e imagen
Ejercicio 1
Dados los conjuntos A = {8, 12, 13, 20, 23} y B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, determine: dominio, rango y rango de los funciones
a) f: A → B definida por f (x) = 2x + 1
b) f: A → B definido por f (x) = 3x - 14
a) f: A → B definida por f (x) = 2x + 1
Dominio A = {8, 12, 13, 20, 23}
Dominio B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Imagen Im (f) = {17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | soy (f) |
|---|---|---|
| 8 | f(8)=2.8+1 | 17 |
| 12 | f(12)=2.12+1 | 25 |
| 13 | f(13)=2.13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2.20+1 | 41 |
| 23 | f(23)=2.23+1 | 47 |
b) f: A → B definido por f (x) = 3x - 14
Dominio A = {8, 12, 13, 20, 23}
Dominio B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Imagen Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | soy (f) |
|---|---|---|
8 |
f(8)=3.8 - 14 | 10 |
| 12 | f(12)=3.12 - 14 | 24 |
| 13 | f(13)=3.13 - 14 | 25 |
| 20 | f(20)=3.20 - 14 | 46 |
| 23 | f(23)=3.23 - 14 | 55 |
Ejercicio 2
Determine el dominio de funciones definidas por:
El dominio es el conjunto de posibles valores que puede tomar x.
a) Sabemos que no es posible tener división por cero 0, por lo que el denominador debe ser diferente de cero.
Leemos: x pertenece a los reales tales que x es diferente de 2.
b) No hay raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, el radicando debe ser mayor o igual que cero.
Leemos: x pertenece a los reales tales que x es mayor o igual a 5.
Ejercicio 3
Dada la función con dominio en el conjunto de enteros ¿Cuál es el conjunto de imágenes de f(x)?
El conjunto Z de enteros admite tanto números negativos como positivos donde dos números consecutivos están separados por 1 unidad.
De esta forma, la función admite valores positivos y negativos. Sin embargo, dado que x está al cuadrado, cada valor, incluso uno negativo, devolverá un valor positivo.
Ejemplo
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
De esta manera, solo habrá números naturales en la imagen.
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Aplicaciones y curiosidades
Las funciones tienen aplicación en el estudio de cualquier fenómeno en el que un parámetro depende de otro. Como, por ejemplo, la velocidad de un mueble con el tiempo, los efectos de un fármaco con las características de acidez en el estómago, la temperatura de una caldera con la cantidad de combustible.
Las funciones están presentes en los fenómenos reales y, por tanto, tienen aplicación en todos los estudios científicos y de ingeniería.
El estudio de las funciones no es reciente, algunos registros en la Antigüedad en tablas babilónicas muestran que ya formaban parte de las matemáticas. A lo largo de los años, la notación, la forma en que se escriben, ha ido recibiendo aportes de varios matemáticos y mejorando, hasta llegar a utilizarlos en la actualidad.
