bisectriz es el rayo interior de un ángulo extraído de su vértice, dividiéndolo en dos anglos congruente. Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se encuentran en un punto conocido como incentro, que es el centro del círculo inscrito en ese polígono.
A partir de la bisectriz se elaboraron dos teoremas importantes: el ángulo interno y el ángulo externo, desarrollados en triangulos que usan la proporción para relacionar los lados de ese polígono. En el plano cartesiano, es posible trazar la bisectriz en cuadrantes pares e impares.
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resumen de la bisectriz
Una bisectriz es un rayo que divide un ángulo en dos ángulos congruentes.
Podemos trazar las bisectrices de los ángulos interiores de los triángulos.
El teorema del ángulo interior se desarrolló a partir de la bisectriz de un ángulo del triángulo.
Hay dos bisectrices en el plano cartesiano, cuadrantes pares y cuadrantes impares.
¿Qué es la bisectriz?
Dado un ángulo AOB, llamamos bisectriz a la semirrecta OC, que parte del punto O y divide el ángulo AOB en dos ángulos congruentes.
En la imagen, el rayo OC biseca al ángulo AOB.
¿Cómo encontrar la bisectriz?
Para hallar la bisectriz se utilizan como instrumentos una regla y un compás y se siguen los siguientes pasos:
1er paso: La punta seca del compás se coloca bajo el vértice O y se traza un arco sobre los rayos OA y OB.
2do paso: La punta seca del compás se coloca en el punto de intersección del arco con el rayo OA y se hace un arco con el compás mirando hacia la parte interior del ángulo.
3er paso: En el punto de intersección del arco con el rayo OB, coloque la punta seca del compás y repita el proceso anterior.
4to paso: Finalmente, trazando un rayo desde el vértice del ángulo que pasa por los puntos de intersección entre los arcos, se encuentra la bisectriz del ángulo.
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Bisectriz de un triángulo
Cuando se trazan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo, podemos encontrar su punto notable, conocido como incentro, que es el punto de encuentroEl de bisectrices y también el centro de circunferencia inscrito en el polígono.
Teorema de la bisectriz interna
se forman segmentos proporcional lados adyacentes de un triángulo cuando se bisecta uno de sus ángulos interiores.
Ejemplo:
Dado el siguiente triángulo, encuentre la longitud del lado AC.
Resolución:
Aplicando el teorema de la bisectriz interna, calculamos:
Lección en video sobre el teorema de la bisectriz interna
Teorema de la bisectriz externa
Cuando se dibuja la bisectriz de uno de los ángulos exteriores de un triángulo, se forma la prolongación del lado opuesto al ángulo exterior. segmentos proporcionales a los lados adyacentes.
Ejemplo:
Encuentra el valor de x.
Aplicando el teorema de la bisectriz exterior, tenemos:
Bisectriz de cuadrantes del plano cartesiano
Es posible trazar la bisectriz en el plano cartesiano. Hay dos posibilidades: la bisectriz que pasa por los cuadrantes pares y la que pasa por los impares.
EL bisectriz de cuadrantes los números impares pasan por el 1er y 3er cuadrante. Cuando la bisectriz corta los cuadrantes impares, El tu ecuacion es y = x. Por tanto, los puntos pertenecientes a la bisectriz de los cuadrantes pares tienen la misma abscisa y ordenada.
El segundo caso se refiere cuando la bisectriz pasa por los cuadrantes pares, es decir, por los cuadrantes 2 y 4. Cuando esto ocurre, la ecuación de la recta será y = – x. Por lo tanto, los puntos tienen abscisas y ordenadas como números simétricos.
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Ejercicios resueltos de bisectriz
Pregunta 1
En la siguiente imagen, sabiendo que OC es la bisectriz del ángulo AOB, podemos decir que la medida del ángulo AOB es igual a
a) 15
B) 30°
c) 35°
D) 60°
E) 70º
Resolución:
Alternativa E
Como OC es una bisectriz, tenemos lo siguiente:
3x – 10 = 2x + 5
3x – 2x = 10 + 5
x = 15°
Se sabe que x = 15 y que el valor de la mitad del ángulo AOB es igual a 2x + 5. Sustituyendo x por 15, obtenemos:
2 · 15 + 5
30 + 5
35°
La mitad del ángulo AOB es de 35°. Por tanto, el ángulo AOB es igual al doble de 35°, es decir,
COA = 35 · 2 = 70°.
Pregunta 2
En un triángulo se dibujaron sus tres bisectrices internas. Después de rastrearlos, fue posible notar que se encuentran en un punto. El punto donde se unen las bisectrices de los ángulos de un triángulo se conoce como
A) centroide.
B) incentro.
C) circuncentro.
D) ortocentro.
Resolución:
Alternativa B
Cuando se dibujan las bisectrices internas de un triángulo, su punto de encuentro se conoce como incentro.
Por Raúl Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas