Vector es la representación que determina la magnitud, dirección y dirección de una cantidad vectorial. Los vectores son segmentos rectos orientados por una flecha en un extremo.
Nombramos los vectores con una letra y una flecha pequeña.
Los vectores caracterizan cantidades vectoriales, que son cantidades que necesitan orientación, es decir, dirección y dirección. Algunos ejemplos son: fuerza, velocidad, aceleración y desplazamiento. El valor numérico no es suficiente, es necesario describir dónde actúan estas cantidades.
módulo de un vector
El módulo o intensidad del vector es su valor numérico, seguido de la unidad de medida de la magnitud que representa, por ejemplo:
Indicamos el módulo entre barras manteniendo la flecha o, solo la letra, sin barras y sin flecha.
La longitud del vector es proporcional al módulo. Un vector más grande representa un módulo más grande.
el módulo de vector es de 4 unidades, mientras que el vector
es de 2 unidades.
Dirección de un vector
La dirección del vector es la pendiente de la línea de apoyo en la que se determina. Solo hay una dirección para cada vector.
sentido de un vector
La dirección del vector se muestra con la flecha. La misma dirección puede contener dos direcciones, como arriba o abajo e izquierda o derecha.
Adoptando una dirección como positiva, la dirección opuesta, negativa, se representa con un signo menos antes del símbolo vectorial.
Vector resultante
El vector resultante es el resultado de operaciones vectoriales y es equivalente a un conjunto de vectores. Es conveniente conocer el vector que representa el efecto producido por más de un vector.
Por ejemplo, un cuerpo puede estar sujeto a un conjunto de fuerzas y queremos saber el resultado que producirán, todas juntas, en este cuerpo. Cada fuerza está representada por un vector, pero el resultado solo puede representarse por un vector: el vector resultante.
El vector resultante, , de dirección horizontal y dirección a la derecha, es el resultado de sumas y restas de los vectores.
,
,
y
. El vector resultante muestra una tendencia del cuerpo a moverse en esta orientación.
Los vectores con dirección vertical tienen el mismo tamaño, es decir, el mismo módulo. Como tienen significados opuestos, se anulan entre sí. Esto muestra que no habrá movimiento de la caja en la dirección vertical.
Al analizar los vectores y
, que tienen la misma dirección y direcciones opuestas, nos damos cuenta de que una parte de la fuerza "permanece" a la derecha, ya que el vector
es más grande que el
, es decir, el módulo de
es mayor.
Para determinar el vector resultante, realizamos operaciones de suma y resta de vectores.
Suma y resta de vectores con la misma dirección
Con sentidos iguales, agregamos los módulos y mantenemos la dirección y dirección.
Ejemplo:
Gráficamente colocamos los vectores en secuencia, sin cambiar sus módulos. El comienzo de uno debe coincidir con el final del otro.
La propiedad conmutativa de la suma es válida, ya que el orden no cambia el resultado.
Con sentidos opuestos, restamos los módulos y mantenemos la dirección. La dirección del vector resultante es la del vector con el módulo más grande.
Ejemplo:
el vector es la parte sobrante de
, después de retirarse
.
Restar un vector equivale a sumar con el opuesto del otro.
Suma y resta de vectores perpendiculares
Para sumar dos vectores con direcciones perpendiculares, movemos los vectores sin cambiar su módulo, de modo que el comienzo de uno coincida con el final del otro.
El vector resultante vincula el comienzo del primero al final del segundo.
Para determinar la magnitud del vector resultante entre dos vectores perpendiculares, hacemos coincidir el inicio de los dos vectores.
El módulo del vector resultante está determinado por el teorema de Pitágoras.
Suma y resta de vectores oblicuos
Dos vectores son oblicuos cuando forman un ángulo entre sus direcciones distintas de 0 °, 90 ° y 180 °. Para sumar o restar vectores oblicuos, se utilizan los métodos de paralelogramo y línea poligonal.
método del paralelogramo
Para realizar el método, o regla, del paralelogramo entre dos vectores y dibujar el vector resultante, seguimos estos pasos:
El primer paso es colocar sus orígenes en el mismo punto y dibujar líneas paralelas a los vectores para formar un paralelogramo.
El segundo es dibujar un vector diagonal en el paralelogramo, entre la unión de vectores y la unión de líneas paralelas.
Las líneas de puntos son paralelas a los vectores y la figura geométrica formada es un paralelogramo.
El vector resultante es la línea que conecta el origen de los vectores con los paralelos.
O módulo del vector resultante se obtiene por la Ley del Coseno.
Dónde:
R es la magnitud del vector resultante;
a es el módulo de vector ;
b es el módulo del vector ;
es el ángulo formado entre las direcciones de los vectores.
El método del paralelogramo se utiliza para sumar un par de vectores. Si desea sumar más de dos vectores, debe sumarlos de dos en dos. Al vector resultante de la suma de los dos primeros, le sumamos el tercero y así sucesivamente.
Otra forma de sumar más de dos vectores es utilizar el método de la línea poligonal.
método de línea poligonal
El método de la línea poligonal se utiliza para encontrar el vector resultante de sumar vectores. Este método es especialmente útil cuando se suman más de dos vectores, como los siguientes vectores ,
,
y
.
Para utilizar este método debemos ordenar los vectores de modo que el final de uno (flecha) coincida con el comienzo de otro. Es importante conservar el módulo, la dirección y la dirección.
Después de ordenar todos los vectores en forma de línea poligonal, debemos trazar el vector resultante que va desde el principio del primero hasta el final del último.
Es importante que el vector resultante cierre el polígono, coincidiendo su flecha con la flecha del último vector.
La propiedad conmutativa es válida, ya que el orden en el que colocamos los vectores de la gráfica no cambia el vector resultante.
descomposición vectorial
Descomponer un vector es escribir los componentes que lo componen. Estos componentes son otros vectores.
Cada vector se puede escribir como una composición de otros vectores, mediante una suma vectorial. En otras palabras, podemos escribir un vector como la suma de dos vectores, a los que llamamos componentes.
Usando un sistema de coordenadas cartesiano, con ejes xey perpendiculares, determinamos las componentes del vector.
el vector es el resultado de la suma vectorial entre los vectores componentes.
y
.
el vector inclinación
forma un triángulo rectángulo con el eje x. Por lo tanto, determinamos los módulos de los vectores componentes mediante trigonometría.
Módulo componente ax.
Módulo de componentes ay.
el módulo de vector se obtiene del Teorema de Pitágoras.
Ejemplo
Se realiza una fuerza tirando de un bloque del suelo. La fuerza del módulo de 50 N se inclina 30 ° desde la horizontal. Determine las componentes horizontal y vertical de esta fuerza.
Datos:
Multiplicación de un número real por un vector
Al multiplicar un número real por un vector, el resultado será un nuevo vector, que tiene las siguientes características:
- Misma dirección si el número real no es cero;
- Misma dirección, si el número real es positivo, y en la dirección opuesta si es negativo;
- El módulo será el producto del módulo del número real y el módulo del vector multiplicado.
Producto entre un número real y un vector
Dónde: es el vector resultante de la multiplicación;
es el número real;
es el vector que se está multiplicando.
Ejemplo
Sea el número real n = 3 y el vector del módulo 2, el producto entre ellos es igual a:
Cálculo del módulo
La dirección y la dirección serán las mismas.
Ejercicio 1
(Enem 2011) La fuerza de fricción es una fuerza que depende del contacto entre los cuerpos. Puede definirse como una fuerza opuesta a la tendencia al desplazamiento de los cuerpos y se genera debido a las irregularidades entre dos superficies en contacto. En la figura, las flechas representan fuerzas que actúan sobre el cuerpo y el punto ampliado representa las irregularidades que existen entre las dos superficies.
En la figura, los vectores que representan las fuerzas que causan el desplazamiento y la fricción son, respectivamente:
Los) 
B) 
C) 
D) 
y) 
Respuesta correcta: letra a) 
Las flechas representan los vectores de fuerzas que actúan en el movimiento en dirección horizontal, siendo un par acción-reacción, tienen direcciones opuestas.
Las flechas verticales representan las acciones de la Fuerza de Peso y la Fuerza Normal y, al ser iguales, se anulan entre sí, sin movimiento en la dirección vertical.
Ejercicio 2
(UEFS 2011) El diagrama vectorial de la figura describe las fuerzas ejercidas por dos bandas elásticas en un diente de una persona que se somete a un tratamiento de ortodoncia.
Suponiendo F = 10.0N, sen45 ° = 0.7 y cos45 ° = 0.7, la intensidad de la fuerza aplicada por los elásticos sobre el diente, en N, es igual a
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Respuesta correcta: c) 2√85
La intensidad de la fuerza aplicada al diente se obtiene mediante la Ley de los cosenos.
ayb son iguales a 10 N.
Factorizar la raíz cuadrada nos da:
Por lo tanto, la intensidad de la fuerza resultante aplicada por las bandas elásticas sobre el diente es .
Ejercicio 3
(PUC RJ 2016) Las fuerzas F1, F2, F3 y F4, en la Figura, forman ángulos rectos entre sí y sus módulos son, respectivamente, 1 N, 2 N, 3 N y 4 N.
Calcule el módulo de la fuerza neta, en N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Respuesta correcta: d) 2√ 2
Usamos el método de la línea poligonal para determinar el vector resultante. Para ello, reorganizamos los vectores para que el final de uno coincida con el comienzo del otro, así:
Usando un sistema de coordenadas con origen al comienzo del vector resultante, podemos determinar los módulos de sus componentes, de la siguiente manera:
Por tanto, tenemos que:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
La magnitud del vector resultante está determinada por el Teorema de Pitágoras.
Por lo tanto, el módulo de la fuerza neta es igual a .
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- Vectores: suma, resta y descomposición.
- Cantidades vectoriales
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