Al estudiar el conjunto de números racionales, encontramos algunas fracciones que, cuando se convierten a números decimales, se convierten en decimales periódicos. Para realizar esta transformación, debemos dividir el numerador de la fracción por su denominador, como en el caso de la fracción 
. Asimismo, mediante un decimal periódico, podemos encontrar la fracción que le dio origen. Esta fracción se llama "fracción generadora”.
En cualquier decimal periódico, el número que se repite se llama curso del tiempo. En el ejemplo dado, tenemos un decimal periódico simple, y el período es el número 6. A través de una ecuación simple, podemos encontrar la fracción generadora de 0,6666…
Primero, podemos afirmar que:
X = 0,666...
A partir de ahí, comprobamos cuántos dígitos tiene el período. En este caso, el punto tiene un dígito. Entonces, multipliquemos ambos lados de la ecuación por 10, si el período tuviera 2 dígitos, multiplicaríamos por 100, en el caso de 3 dígitos, por 1000, y así sucesivamente. Entonces, tendremos:
10X = 6,666...
En el segundo miembro de la ecuación, podemos dividir el número 6,666... en un número entero y otro decimal de la siguiente manera:
10 X = 6 + 0,666...
Sin embargo, justo al principio dijimos que X = 0.666..., entonces podemos reemplazar la parte decimal de la ecuación con x y nos queda:
10 x = 6 + X
Usando las propiedades básicas de las ecuaciones, podemos cambiar la variable x del segundo al primer lado de la ecuación:
10 x - x = 6
Resolviendo la ecuación, tendremos:
9 x = 6
x = 6
9
Simplificando la fracción por 3, tenemos:
x = 2
3
Pronto, 
, o sea, 
es la fracción generadora del decimal periódico 0.6666... .
Veamos cuando tenemos un decimal compuesto periódico, como en el caso de 0,03131… Empezaremos de la misma forma:
X = 0,03131...
Para hacer esta igualdad más similar al ejemplo anterior, necesitamos cambiarla para que no tengamos ningún número entre el signo igual y el punto. Para eso, multipliquemos la ecuación por 10:
10 X = 0,313131... ***
Siguiendo el razonamiento usado en el primer ejemplo, tenemos que el decimal periódico tiene un período de dos dígitos, así que multipliquemos la ecuación por 100.
1000 X = 31,313131...
Ahora basta con romper la parte entera del decimal, en el segundo miembro de la igualdad.
1000 X = 31 + 0,313131...
pero por ***, tenemos que 10 X = 0,313131..., reemplacemos el número decimal por 10 X.
1000 X = 31 + 10 X
1000 X - 10 x = 31
990 X = 31
X = 31
990
Entonces, la fracción generadora de 0,0313131… é 31 . Esta regla se puede aplicar a todos los diezmos periódicos.
990
Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm
