LA ecuación de segundo grado recibe su nombre porque es una ecuación polinomial cuyo término de grado más alto es al cuadrado. También llamada ecuación cuadrática, está representada por:
hacha2 + bx + c = 0
En una ecuación de segundo grado, la X es el desconocido y representa un valor desconocido. ya la letra La, B y C se llaman coeficientes de ecuación.
Los coeficientes son números reales y el coeficiente La tiene que ser diferente de cero, de lo contrario se convierte en una ecuación de primer grado.
Resolver una ecuación de segundo grado significa buscar valores reales de X, que hacen que la ecuación sea verdadera. Estos valores se denominan raíces de la ecuación.
Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces reales.
Ecuaciones completas e incompletas de la escuela secundaria
Ecuaciones de segundo grado completo son aquellos que tienen todos los coeficientes, es decir, a, byc son diferentes de cero (a, b, c ≠ 0).
Por ejemplo, la ecuación 5x2 + 2x + 2 = 0 está completo, ya que todos los coeficientes son distintos de cero (a = 5, b = 2 yc = 2).
Una ecuación cuadrática es incompleto cuando b = 0 o c = 0 o b = c = 0. Por ejemplo, la ecuación 2x2 = 0 está incompleto porque a = 2, b = 0 y c = 0
Ejercicios resueltos
1) Determine los valores de X que hacen la ecuación 4x2 - 16 = 0 verdadero.
Solución:
La ecuación dada es una ecuación de segundo grado incompleta, con b = 0. Para ecuaciones de este tipo, podemos resolver aislando el X. Así:
Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de 4 puede ser 2 y -2, ya que estos dos números al cuadrado dan como resultado 4.
Entonces las raíces de la ecuación 4x2 - 16 = 0 son x = - 2 y x = 2
2) Encuentra el valor de x para que el área del rectángulo de abajo sea igual a 2.
Solución:
El área del rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura. Entonces, debemos multiplicar los valores dados e igualar a 2.
(x - 2). (x - 1) = 2
Ahora multipliquemos todos los términos:
X. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
X2 - 1x - 2x + 2 = 2
X2 - 3x + 2 - 2 = 0
X2 - 3x = 0
Después de resolver las multiplicaciones y simplificaciones, encontramos una ecuación cuadrática incompleta, con c = 0.
Este tipo de ecuación se puede resolver mediante el factorización, porque el X se repite en ambos términos. Así que lo pondremos en evidencia.
X. (x - 3) = 0
Para que el producto sea igual a cero, x = 0 o (x - 3) = 0. Sin embargo, reemplazando X por cero, las medidas de los lados son negativas, por lo que este valor no será la respuesta a la pregunta.
Entonces tenemos que el único resultado posible es (x - 3) = 0. Resolviendo esta ecuación:
x - 3 = 0
x = 3
De esta forma, el valor de la X de modo que el área del rectángulo es igual a 2 es x = 3.
Fórmula de Bhaskara
Cuando se completa una ecuación cuadrática, usamos la Fórmula de Bhaskara para encontrar las raíces de la ecuación.
La fórmula se presenta a continuación:
Fórmula delta
En la fórmula de Bhaskara, la letra griega aparece Δ (delta), que se denomina discriminante de la ecuación, porque según su valor es posible conocer el número de raíces que tendrá la ecuación.
Para calcular el delta usamos la siguiente fórmula:
Paso a paso
Para resolver una ecuación de segundo grado, utilizando la fórmula de Bhaskara, debemos seguir estos pasos:
1er paso: Identifica los coeficientes La, B y C.
Los términos de la ecuación no siempre aparecen en el mismo orden, por lo que es importante saber identificar los coeficientes, independientemente de la secuencia en la que se encuentren.
el coeficiente La es el número que va con la x2, O B es el número que acompaña al X es el C es el término independiente, es decir, el número que aparece sin la x.
2do paso: Calcula el delta.
Para calcular las raíces es necesario conocer el valor del delta. Para hacer esto, reemplazamos las letras en la fórmula con los valores de los coeficientes.
Podemos, a partir del valor delta, conocer de antemano el número de raíces que tendrá la ecuación de 2º grado. Es decir, si el valor de Δ es mayor que cero (Δ > 0), la ecuación tendrá dos raíces reales y distintas.
Si por el contrario, delta es menor que cero (Δ), la ecuación no tendrá raíces reales y si es igual a cero (Δ = 0), la ecuación tendrá una sola raíz.
3er paso: Calcula las raíces.
Si el valor encontrado para delta es negativo, no necesita hacer más cálculos y la respuesta es que la ecuación no tiene raíces reales.
Si el valor delta es igual o mayor que cero, debemos reemplazar todas las letras por sus valores en la fórmula de Bhaskara y calcular las raíces.
Ejercicio resuelto
Determina las raíces de la ecuación 2x2 - 3x - 5 = 0
Solución:
Para resolver esto, primero debemos identificar los coeficientes, por lo que tenemos:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Ahora podemos encontrar el valor delta. Debemos tener cuidado con las reglas de los signos y recordar que primero debemos resolver potenciación y multiplicación, y luego suma y resta.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Como el valor encontrado es positivo, encontraremos dos valores distintos para las raíces. Entonces, debemos resolver la fórmula de Bhaskara dos veces. Entonces tenemos:
Entonces las raíces de la ecuación 2x2 - 3x - 5 = 0 son x = 5/2 y x = - 1.
Sistema de ecuaciones de segundo grado
Cuando queremos encontrar valores de dos incógnitas diferentes que satisfacen simultáneamente dos ecuaciones, tenemos un sistema de ecuaciones.
Las ecuaciones que componen el sistema pueden ser de 1º y 2º grado. Para resolver este tipo de sistema podemos utilizar el método de sustitución y el método de suma.
Ejercicio resuelto
Resuelve el sistema a continuación:
Solución:
Para resolver el sistema, podemos usar el método de la suma. En este método, agregamos términos similares de la primera ecuación con los de la segunda ecuación. Por lo tanto, reducimos el sistema a una sola ecuación.
Aún podemos simplificar todos los términos de la ecuación en 3 y el resultado será la ecuación x2 - 2x - 3 = 0. Resolviendo la ecuación, tenemos:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
Después de encontrar los valores de x, no debemos olvidar que todavía tenemos que encontrar los valores de y que hacen que el sistema sea verdadero.
Para hacer esto, simplemente reemplace los valores encontrados para x en una de las ecuaciones.
y1 - 6. 3 = 4
y1 = 4 + 18
y1 = 22
y2 - 6. (-1) = 4
y2 + 6 = 4
y2 = - 2
Por tanto, los valores que satisfacen el sistema propuesto son (3, 22) y (-1, - 2)
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Ejercicios
Pregunta 1
Resuelve la ecuación cuadrática completa usando la fórmula de Bhaskara:
2x2 + 7x + 5 = 0
En primer lugar, es importante observar cada coeficiente en la ecuación, por lo tanto:
a = 2
b = 7
c = 5
Mediante la fórmula del discriminante de la ecuación, debemos encontrar el valor de Δ.
Esto es para luego encontrar las raíces de la ecuación a través de la fórmula general o la fórmula de Bhaskara:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Tenga en cuenta que si el valor de Δ es mayor que cero (Δ > 0), la ecuación tendrá dos raíces reales y distintas.
Entonces, después de encontrar el Δ, reemplácelo en la fórmula de Bhaskara:
Por tanto, los valores de las dos raíces reales son: X1 = - 1 y X2 = - 5/2
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Pregunta 2
Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas:
a) 5 veces2 - x = 0
Primero, buscamos los coeficientes de la ecuación:
a = 5
b = - 1
c = 0
Es una ecuación incompleta donde c = 0.
Para calcularlo podemos utilizar la factorización, que en este caso es poner x en evidencia.
5 veces2 - x = 0
X. (5x-1) = 0
En esta situación, el producto será igual a cero cuando x = 0 o cuando 5x -1 = 0. Entonces, calculemos el valor de x:
Entonces las raíces de la ecuación son X1 = 0 y X2 = 1/5.
b) 2x2 – 2 = 0
a = 2
b = 0
c = - 2
Es una ecuación de segundo grado incompleta, donde b = 0, su cálculo se puede hacer aislando la x:
X1 = 1 y x2 = - 1
Entonces las dos raíces de la ecuación son X1 = 1 y X2 = - 1
c) 5 veces2 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
En este caso, la ecuación incompleta presenta coeficientes byc iguales a cero (b = c = 0):
Por tanto, las raíces de esta ecuación tienen los valores X1 = X2 = 0
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