Las cantidades proporcionales tienen sus valores aumentados o disminuidos en una relación que se puede clasificar como proporcionalidad directa o inversa.
¿Qué son las cantidades proporcionales?
Una cantidad se define como algo que se puede medir o calcular, ya sea la velocidad, el área o el volumen de un material, y es útil para comparar con otras medidas, a menudo de la misma unidad, que representan un razón.
La proporción es una relación de igualdad entre razones y, por lo tanto, presenta la comparación de dos cantidades en diferentes situaciones.
La igualdad entre a, b, cyd se lee de la siguiente manera: a es ab como c es d.
La relación entre las cantidades puede ocurrir de forma directa o inversamente proporcional.
¿Cómo funcionan las cantidades directamente e inversamente proporcionales?
Cuando la variación de una cantidad hace que la otra varíe en la misma proporción, tenemos una proporcionalidad directa. La proporcionalidad inversa se observa cuando un cambio en una cantidad produce un cambio opuesto en la otra.
proporcionalidad directa
Dos cantidades son directamente proporcionales cuando la variación de una implica la variación de la otra en la misma proporción, es decir, al duplicar una de ellas, la otra también se duplica; reduciendo a la mitad, el otro también reduce en la misma cantidad... etcétera.
Gráficamente, la variación directamente proporcional de una cantidad en relación a otra forma una línea recta que pasa por el origen, ya que tenemos y = k.x, donde k es una constante.
Ejemplo de proporcionalidad directa
Una impresora, por ejemplo, tiene la capacidad de imprimir 10 páginas por minuto. Si duplicamos el tiempo, duplicamos el número de páginas impresas. Asimismo, si paramos la impresora en medio minuto, obtenemos la mitad de impresiones esperadas.
Ahora veremos con números la relación entre las dos cantidades.
En una imprenta se hacen copias de libros escolares. En 2 horas se realizan 40 impresiones. En 3 horas, la misma máquina produce otras 60 impresiones, en 4 horas 80 impresiones y en 5 horas 100 impresiones.
| Tiempo (horas) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Impresiones (número) | 40 | 60 | 80 | 100 |
La constante de proporcionalidad entre las cantidades se encuentra por la relación entre el tiempo de trabajo de la máquina y el número de copias realizadas.
El cociente de esta secuencia (1/20) se llama proporcionalmente constante (k).
El tiempo de trabajo (2, 3, 4 y 5) es directamente proporcional al número de copias (40, 60, 80 y 100), porque al duplicar el tiempo de trabajo también se duplica el número de copias.
proporcionalidad inversa
Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando el aumento de una implica la reducción de la otra, es decir, al duplicar una cantidad, la correspondiente se reduce a la mitad; triplicando una magnitud, la otra la reduce a una tercera... etcétera.
Gráficamente, la variación inversamente proporcional de una cantidad en relación con otra forma una hipérbola, ya que tenemos y = k / x, donde k es una constante.
Ejemplo de proporción inversa
Cuando se aumenta la velocidad, el tiempo para completar un recorrido es más corto. Asimismo, al disminuir la velocidad, se necesitará más tiempo para hacer el mismo camino.
Vea a continuación una aplicación de la relación entre estas cantidades.
João decidió contar el tiempo que le llevó ir en bicicleta de la casa a la escuela a diferentes velocidades. Tenga en cuenta la secuencia grabada.
| Tiempo (min) | 2 | 4 | 5 | 1 |
| Velocidad (m / s) | 30 | 15 | 12 | 60 |
Podemos hacer la siguiente relación con los números de secuencia:
Escribiendo como igualdad de razones, tenemos:
En este ejemplo, la secuencia de tiempo (2, 4, 5 y 1) es inversamente proporcional a la velocidad promedio de pedaleo (30, 15, 12 y 60) y la proporcionalmente constante (k) entre estas cantidades es 60.
Tenga en cuenta que cuando un número de secuencia se duplica, el número de secuencia correspondiente se reduce a la mitad.
vea también: Proporcionalidad
Ejercicios comentados sobre cantidades directamente e inversamente proporcionales
Pregunta 1
Clasifique las cantidades enumeradas a continuación en directa o inversamente proporcionales.
a) Consumo de combustible y kilómetros recorridos por un vehículo.
b) Número de ladrillos y área de un muro.
c) Descuento otorgado sobre un producto y precio final pagado.
d) Número de grifos con el mismo caudal y tiempo para llenar una piscina.
Respuestas correctas:
a) Cantidades directamente proporcionales. Cuantos más kilómetros recorre un vehículo, mayor es el consumo de combustible para completar la ruta.
b) Cantidades directamente proporcionales. Cuanto mayor sea el área de una pared, mayor será la cantidad de ladrillos que formarán parte de ella.
c) Cantidades inversamente proporcionales. Cuanto mayor sea el descuento otorgado en la compra de un producto, menor será el monto que se pagará por la mercancía.
d) Cantidades inversamente proporcionales. Si los grifos tienen el mismo flujo, liberan la misma cantidad de agua. Por lo tanto, cuantos más grifos se abran, menos tiempo se necesita para que se libere la cantidad de agua necesaria para llenar la piscina.
Pregunta 2
Pedro tiene una piscina en su casa que mide 6 m de largo y tiene capacidad para 30.000 litros de agua. Su hermano Antônio también decide construir una piscina del mismo ancho y profundidad, pero de 8 m de largo. ¿Cuántos litros de agua caben en la piscina de Antônio?
a) 10000 L
b) 20000 L
c) 30.000 litros
d) 40000 L
Respuesta correcta: d) 40000 L.
Agrupando las dos cantidades dadas en el ejemplo, tenemos:
| magnitudes | Pedro | Antonio |
| Longitud de la piscina (m) | 6 | 8 |
| Flujo de agua (L) | 30 000 | X |
De acuerdo con propiedad fundamental de las proporciones, en la relación entre las cantidades, el producto de los extremos es igual al producto de las medias y viceversa.
Para resolver este problema utilizamos el X como desconocido, es decir, el cuarto valor que debe calcularse a partir de los tres valores dados en la declaración.
Usando la propiedad fundamental de las proporciones, calculamos el producto de las medias y el producto de los extremos para encontrar el valor de x.
Tenga en cuenta que entre las cantidades hay proporcionalidad directa: cuanto mayor es la longitud de la piscina, mayor es la cantidad de agua que contiene.
vea también: Razón y proporción
Pregunta 3
En una cafetería, el Sr. Alcides prepara jugo de fresa todos los días. En 10 minutos y usando 4 licuadoras, la cafetería puede preparar los jugos que pidan los clientes. Para reducir el tiempo de preparación, Alcides duplicó el número de licuadoras. ¿Cuánto tiempo tardaron los jugos en estar listos con las 8 licuadoras funcionando?
a) 2 min
b) 3 min
c) 4 min
d) 5 min
Respuesta correcta: d) 5 min.
|
Batidoras (número) |
Hora (minutos) |
| 4 | 10 |
| 8 | X |
Tenga en cuenta que entre las magnitudes de la pregunta hay proporcionalidad inversa: cuantas más licuadoras estén haciendo jugo, menos tiempo tomará para que todos estén listos.
Por lo tanto, para resolver este problema se debe invertir la magnitud del tiempo.
Luego aplicamos la propiedad fundamental de la proporción y resolvemos el problema.
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