El principio fundamental de contar, también llamado principio multiplicativo, se usa para encontrar el número de posibilidades de un evento que consta de n etapas. Para ello, los pasos deben ser sucesivos e independientes.
Si la primera etapa del evento tiene x posibilidades y la segunda etapa consta de y posibilidades, entonces hay x. y posibilidades.
Por lo tanto, el principio fundamental de contar es el multiplicación de opciones dadas para determinar posibilidades totales.
Este concepto es importante para el análisis combinatorio, un área de las matemáticas que reúne métodos para la resolución de problemas. que implican contar y, por lo tanto, es muy útil en la investigación de posibilidades para determinar la probabilidad de fenómenos.
Ejemplo 1
João se aloja en un hotel y tiene la intención de visitar el centro histórico de la ciudad. Desde el hotel hay 3 líneas de metro que lo llevan al centro comercial y 4 autobuses que viajan desde el centro comercial hasta el centro histórico.
¿De cuántas maneras puede João salir del hotel y llegar al centro histórico a través del centro comercial?
Solución: El diagrama de árbol o árbol de posibilidades es útil para analizar la estructura de un problema y visualizar el número de combinaciones.
Observe cómo se realizó la verificación de las combinaciones utilizando el diagrama de árbol.
Si hay 3 posibilidades para salir del hotel y llegar al centro comercial, y del centro comercial al centro histórico tenemos 4 posibilidades, entonces las posibilidades totales son 12.
Otra forma de resolver el ejemplo sería el principio fundamental de contar, haciendo la multiplicación de las posibilidades, es decir, 3 x 4 = 12.
Ejemplo 2
Un restaurante tiene en su menú 2 tipos de entrantes, 3 tipos de platos principales y 2 tipos de postres. ¿Cuántos menús se pueden armar para una comida con entrante, plato principal y postre?
Solución: Utilizaremos el árbol de posibilidades para comprender la configuración de los menús con entrada (E), plato principal (P) y postre (S).
Por el principio fundamental de contar, tenemos: 2 x 3 x 2 = 12. Por tanto, se podrían conformar 12 menús con entrada, plato principal y postre.
ejercicios resueltos
Pregunta 1
Ana se estaba organizando para viajar y empacó 3 pantalones, 4 blusas y 2 zapatos en su maleta. ¿Cuántas combinaciones puede formar Ana con un pantalón, una blusa y un zapato?
a) 12 combinaciones
b) 32 combinaciones
c) 24 combinaciones
d) 16 combinaciones
Alternativa correcta: c) 24 combinaciones.
Tenga en cuenta que para cada una de las 4 blusas, Ana tiene 3 opciones de pantalones y 2 opciones de zapatos.
Entonces 4 x 3 x 2 = 24 posibilidades.
Así, Ana puede formar 24 combinaciones con las piezas de la maleta. Verifique los resultados con el árbol de posibilidades.
Pregunta 2
Un profesor preparó una prueba con 5 preguntas y los estudiantes deben responder marcando verdadero (V) o falso (F) en cada una de las preguntas. ¿De cuántas formas diferentes se podría responder la prueba?
a) 25
b) 40
c) 24
d) 32
Alternativa correcta: d) 32 posibles respuestas.
Hay dos opciones de respuesta distintas en una secuencia de cinco preguntas.
Usando el principio fundamental de contar, tenemos:
2.2.2.2.2 = 32 posibles respuestas para la prueba.
Pregunta 3
¿De cuántas formas se puede formar un número de 3 dígitos usando 0, 1, 2, 3, 4 y 5?
a) 200
b) 150
c) 250
d) 100
Alternativa correcta: d) 100.
El número formado debe contener 3 dígitos para llenar la posición de cien, diez y uno.
En la primera posición no podemos poner el número 0, ya que sería lo mismo que tener un número de 2 dígitos. Entonces, para el centenar tenemos opciones de 5 dígitos (1, 2, 3, 4, 5).
Para la segunda posición, no podemos repetir el número que se usó para cien, pero podemos usar cero, por lo que en el diez también tenemos opciones de 5 dígitos.
Como nos dieron 6 dígitos (0, 1, 2, 3, 4 y 5) y dos que se usaron anteriormente no se pueden repetir, por lo que para la unidad tenemos opciones de 4 dígitos.
Entonces 5 x 5 x 4 = 100. Tenemos 100 formas de escribir un número de 3 dígitos usando 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
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