Conoes una figura geométrica formado por la unión de una región circular con un punto que no pertenece a ese plano. También podemos verlo como revolución sólida, es decir, convertir un triángulo rectángulo alrededor de sus piernas, se forma un cono en el espacio.
Aunque nos remitan a pirámides, veremos que los conos no tienen tantos elementos como los tienen, por ejemplo: aristas, apotemas o zonas faciales.
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¿Qué es un cono?
Considere un círculo A contenido en un plano y un punto P que no pertenece a ese plano. Basado en esto, un cono es la unión de todos los segmentos con extremos en A y P..
Elementos de icono
Considere el siguiente cono para ver sus elementos.
- Base de cono: círculo del plano con centro O y radio r.
- Vértice del cono: punto P.
- Altura del cono: h, distancia entre el ápice del cono y la base. Recuerde que la altura es siempre perpendicular al plano que contiene la base, es decir, el ángulo entre la altura y la base debe ser de 90 °.
- Generatriz: g, cualquier segmento de línea que une el vértice a uno de los extremos de la circunferencia de la base.
Clasificación de conos
Los conos se clasifican en dos grupos: conos rectos y conos oblicuos. Digamos que un cono es recto cuando la proyección de su vértice coincide con el centro de la base, es decir, con el centro de la circunferencia, mira la imagen.
En el cono recto, observe que las medidas de la generatriz son siempre las mismas y observe que POB forma un triángulo rectángulo, por lo tanto, en el Teorema de pitágoras es válido.
(PB)2 = (PO)2 + (OB)2
gramo2 = h2 + r2
De lo contrario, el cono se llama oblicuo.
Cuando, en un cono recto, el triángulo formado en su interior es equilátero, se trata de un cono equilátero, y el valor de la generatriz es el doble del radio, es decir:
g = 2 · r
área del cono
El área del cono se determina en función de la planificación sóliday, al igual que en las pirámides, el el área total del sólido está dada por la suma del área lateral (Aallí) con el área de la base (AB), así:
Como la base es un círculo, su área es:
LAB = π. r2
En ella r es la medida de la relámpago r de la circunferencia.
El área lateral es un sector circular y se puede encontrar de dos formas, ver:
Área lateral en función del ángulo del sector circular
LAallí = θ. gramo2
2
En él, el ángulo q es el ángulo central del sector medido en radianes yg es la medida de la generatriz.
Área lateral en función de la longitud del arco del sector circular
LAallí = π. una. gramo
En él, r es la medida del radio del área lateral yg, la medida de la generatriz.
Por tanto, el área del cono viene dada por:
LAcono = AB + Aallí
LAcono = pir2 + πrg
LAcono = πr (g + r)
volumen del cono
El volumen del cono también depende del área de la base y la altura del cono, ver:
La fórmula del volumen del cono viene dada por:
Vcono = pir2H
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ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Un cono recto tiene una generatriz de 5 cm y una altura de 3 cm. Determine los promedios del área total y el volumen de este cono.
Solución
Inicialmente, dibujamos este cono con los datos proporcionados.
Para encontrar el valor del área y el volumen del cono, primero es necesario determinar el valor del radio de la base. Para ello, usaremos el Teorema de Pitágoras.
52 = 32 + r2
25 = 9 + r2
25 - 9 = r2
r2 = 16
r = 4 cm
Por tanto, el área y el volumen son, respectivamente:
LAcono = πr (g + r) ⇒ Acono = 4π (5 + 4) ⇒ Acono = 36π cm2
Vcono = pir2H ⇒ Vcono = π423 ⇒ Vcono = 16π cm3
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