LA descomposición de factores primos es una herramienta muy importante en el desarrollo matemático, ya que es posible simplificar expresiones numéricas o algebraico y calcular MDC o MMC de números enteros.
La descomposición en factores primos es uno de los resultados más importantes dentro del campo del álgebra y se conoce formalmente como el Teorema fundamental de la aritmética, que establece que todos entero positivo mayor que 1 puede escribirse (o descomponerse) en forma de multiplicación de números primos.
Leer tambien: Propiedades de la multiplicación para el cálculo mental
¿Cómo descomponer en factores primos?
Es fundamental comprender el concepto de números primos, ya que los vamos a utilizar para descomponer números enteros. Aquí volveremos brevemente a la definición de números primos.
|
Los números primos son los que se presentan en su lista de divisores Solo el número 1 y ellos mismos. Para comprobar si los números 11 y 21 son primos o no, por ejemplo, debemos enumerar los divisores de ambos números: D (11) = {1, 11} D (21) = {1, 3, 7, 21} Tenga en cuenta que al enumerar los divisores de 11, solo aparecen el número 1 y él mismo, por lo que el número 11 es primo, que no se aplica al número 21, que tiene más números que 1 y 21, por lo que el número 21 no es primo. Los principales números primos que usamos para realizar la descomposición son los primeros, por lo que es muy importante que sepamos al menos los siguientes números primos: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…} |
La descomposición de factores primos es una herramienta muy poderosa dentro de las matemáticas, ya que permite la simplificación de expresiones algebraicas y numéricas. Formalmente, la descomposición en factores primos se conoce como el Teorema fundamental de la aritmética, que establece:
"Todo número entero mayor que 1 se puede escribir como una multiplicación de números primos".
Además, esta descomposición es única para cada número, es decir, al descomponer el número 12, por ejemplo, será el único con tal factorización. El número que admite una descomposición se llama compuesto.
¿Cómo descomponer un número compuesto?
Para descomponer un número compuesto, debemos realizar divisiones números primos sucesivos, si es posible la división, hasta que el cociente sea igual a 1. Al final, debemos escribir los números primos usados en forma de multiplicación (forma factorizada). Vea los ejemplos a continuación:
Ejemplo 1
Escribe el número 24 en forma factorizada.
Para escribir el número 24 en forma factorizada, debemos dividirlo por el primer número primo posible, es decir, divida el número 24 por un número primo en el que la división sea exacta.
Utilizando la algoritmo de división, dividamos el 24 por2.
El cociente hallado ahora era el número 12, por lo que debemos volver a dividirlo por el primer número primo cuya división sea exacta, es decir, por2.
Debemos Continúe este proceso hasta que el cociente sea igual a 1. Tenga en cuenta que ahora el cociente es igual a 6, por lo que podemos dividirlo por 2, ya que el número 2 es el primer número primo para el que aún es posible la división.
Tenga en cuenta que el cociente ahora es igual a 3, por lo que no es posible dividirlo por 2. En estos casos, dividámoslo por el siguiente número primo cuya división sea exacta, es decir, por3.
Dado que el cociente es igual a 1, la descomposición ha terminado, ahora es suficiente escribir los números primos (que están dentro de la clave) como un producto. Vea:
24 = 2 · 2 ·2 · 3
24 = 23· 3
Vea que hemos escrito el número 24 en forma de producto. Eso significa que factorizamos el número 24 usando números primos.
Ejemplo 2
Escribe el número 25 en su forma factorizada.
En este ejemplo, usaremos el algoritmo de división nuevamente, pero lo escribiremos de manera diferente, vea:
25 = 5 · 5 + 0
5 = 5 · 1 + 0
El número 25, en forma factorizada, es:
25 = 5 ·5
25 = 52
Leer tambien: Criterios de divisibilidad: procesos que facilitan la operación de la división.
Método práctico para realizar la descomposición de factores primos.
Mirando el método anterior, si el número a factorizar es muy grande, como el número 1024, tenemos algo bastante laborioso, ya que serán necesarias divisiones sucesivas entre números primos hasta que el cociente sea igual a 1.
El método que veremos a continuación no es más que una simplificación de la división. En lugar de escribir todos los elementos de la división (divisor, dividendo, cociente y resto), pongamos solo el número primo por el que vamos a dividir el número a factorizar y el cociente de la división. Vea los ejemplos:
Factorizar el número 60
Para factorizar el número 60, sigamos el mismo paso a paso, pero solo escribamos el cociente de la división (es decir, el resultado) y el número primo por el que vamos a dividir el número 60.
Mira que al dividir los 60 por2,el resultado es 30 y al dividir el número 30 por 2, el resultado es 15, y así sucesivamente hasta que el resultado de la división sea igual a 1. El proceso sigue siendo el mismo, la única diferencia está en la simplificación de la información.
El número 60, en su forma factorizada, es:
60 = 2 · 2 · 3 ·5
60 = 22 · 3 · 5
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Descomponer el número 192 en factores primos.
Resolución
El número 192, en su forma descompuesta, es:
192 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
192 = 26 · 3
Pregunta 2 - Considere los números pyq tales que p = 25 · 5 yq = 32. Determine la razón entre q y p.
Resolución
La razón entre dos números es la división entre ellos. Siempre debemos obedecer el orden en el que se les dio para dividir q por p. Antes de realizar la división real, factoricemos el número q, buscando una manera de simplificar el cálculo.
Tenemos q = 32, por lo que podemos escribirlo así:
q = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
q = 25
Ahora que factorizamos el número q, podemos ensamblar la razón entre q y py sustituir los valores.
