O triángulorectángulo tiene un ángulo interior de 90 °, es decir, tiene un ángulo recto. El estudio de este tipo de triángulo es muy importante, ya que resuelve una serie de problemas prácticos utilizando herramientas importantes, como el teorema de Pitágoras y el trigonometría.
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Características principales del triángulo rectángulo.
Se sabe que un triángulo el rectángulo tiene solo uno ángulo interno de 90 °. Además de esta característica, podemos mostrar que los otros ángulos internos son menores a 90 °.
Considere el triángulo rectángulo ABC:
Sabemos que el suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180 °, por lo que tenemos:
α + β + 90° = 180°
α + β = 180° – 90°
α + β = 90°
Tenga en cuenta que la suma de los ángulos α y β da 90 °, esto significa que cada uno de ellos debe ser menor que 90 °, ya que no pueden ser iguales a cero.
Debemos prestar atención a la nomenclaturas utilizado a partir de ahora. O más grandelado del triángulo rectángulo se llama hipotenusa. Los otros lados se llaman pecaríes.
Para diferenciar las piernas entre sí, establezcamos la siguiente regla: la pierna que está frente en cierto ángulo, se llamará con cuelloopuesto; y la pierna que es al lado desde cierto ángulo, se llamará pierna adyacente.
Por tanto, en relación al ángulo α, tenemos:
a → lado opuesto
c → lado adyacente
En relación al ángulo β, tenemos:
c → lado opuesto
a → lado adyacente
También tenga en cuenta que la hipotenusa siempre es fija, solo los pecaríes de collar reciben esta diferenciación en su nomenclatura.
Teorema de pitágoras
El triángulo rectángulo tiene una relación algebraica importante que asocia la medida de la hipotenusa con las medidas de los catetos. Esta relación se conoce como teorema de Pitágoras y, de hecho, se trata de la condición de existencia de un triángulo rectángulo, es decir: si se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es un rectángulo, y viceversa.
"El cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos".
Lea mas:Teorema de Pitágoras: ¿cómo aplicarlo?
Trigonometría en el triángulo rectángulo
Vimos antes que, en un triángulo rectángulo, dos ángulos internos son agudos, es decir, tienen una amplitud inferior a 90 °. Ahora determinemos las medidas del seno, coseno y tangente desde un ángulo agudo.
- Seno de un ángulo es la razón del lado opuesto a la hipotenusa.
- coseno desde un ángulo es el razón entre el lado adyacente y la hipotenusa.
- Tangente de un ángulo es la relación del lado opuesto al lado adyacente.
Ahora mire los valores de seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo. Tenga en cuenta que los valores de seno, coseno y tangente cambian según el ángulo de referencia:
En cuanto al ángulo α, tenemos:
En relación al ángulo β, tenemos:
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (PUC-RS) Se pateó un balón desde el punto M, subió la rampa y fue al punto N, como se muestra en la figura:
La distancia entre M y N es aproximadamente:
a) 4,2 m
b) 4,5 m
c) 5,9 m
d) 6,5 m
e) 8,5 m
Resolución
Alternativa c.
Tenga en cuenta que, para determinar la distancia entre los puntos M y N, primero es necesario encontrar la medida del cateto. A continuación, vea que necesitamos determinar la medida del cateto adyacente al ángulo de 30 ° y que se ha dado la hipotenusa. La relación trigonométrica que involucra el lado adyacente y la hipotenusa es el coseno.
Sabemos que √3 ≈ 1.7. Por tanto, la bola viaja:
1,5 + 2√3 +1
1,5 + 2(1,7) +1
1,5 + 3,4 + 1
4,9 + 1
5,9 metros
Pregunta 2 - (PUC-SP) ¿Cuál es el valor de x en la siguiente figura?
Resolución
Inicialmente, determinemos la medida del cateto opuesto al ángulo de 30 °. Así:
Viendo solo el triángulo más pequeño, vea que tenemos el lado opuesto al ángulo de 60 ° y que necesitamos determinar el valor del lado adyacente. Para ello, debemos utilizar la tangente del ángulo.
