La tabla de verdad o tabla de verdad es una herramienta matemática muy utilizada en el campo del razonamiento lógico. Su objetivo es verificar la validez lógica de una proposición compuesta (argumento formado por dos o más proposiciones simples).
Ejemplos de proposiciones compuestas:
- John es alto y María es bajita.
- Peter es alto o Joana es rubia.
- Si Peter es alto luego Joan es pelirroja.
Cada una de las proposiciones compuestas anteriores están formadas por dos proposiciones simples unidas por los conectores en negrita. Cada proposición simple puede ser verdadera o falsa y esto implicará directamente el valor lógico de la proposición compuesta. Si adoptamos la frase "John es alto y Mary es baja”, Las posibles valoraciones de este estado serán:
- Si Juan es alto y María es baja, la frase “Juan es alto y María es baja” es VERDADERA.
- Si Juan es alto y María no es baja, la frase “Juan es alto y María es baja” es FALSA.
- Si Juan no es alto y María es baja, la frase "Juan es alto y María es baja" es FALSA.
- Si Juan no es alto y María no es baja, la frase “Juan es alto y María es baja” es FALSA.
La tabla de verdad describe este mismo razonamiento (ver tema Conjunción a continuación) de forma más directa. Además, se pueden aplicar las reglas de la tabla de verdad. independientemente del número de proposiciones en la oración.
¿Como funciona?
Primero, convierta las proposiciones de la pregunta en símbolos usados en lógica. La lista de símbolos de uso universal es:
| Símbolo | Operación lógica | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| PAG | . | Proposición 1 | p = John es alto. |
| qué | . | Proposición 2 | q = María es baja. |
| ~ | Negación | No | Si John es alto "~ p" es falso. |
| ^ | Conjunción | y | PAG^qué = John es alto y Mary es baja. |
| v | Disyunción | o | PAGvq = John es alto o Mary es baja. |
| → | Condicional | si entonces | PAG→qué = Si John es alto, entonces Mary es baja. |
| ↔ | bicondicional | si y solo si | PAG↔q = John es alto si y solo si Mary es baja. |
Luego, se ensambla una tabla con todas las posibilidades de valoración de una proposición compuesta, reemplazando los enunciados por símbolos. Cabe aclarar que en los casos en que existan más de dos proposiciones, pueden estar simbolizadas por las letras r, s, y así.
Finalmente, se aplica la operación lógica definida por el conector mostrado. Como se mencionó anteriormente, estas operaciones pueden ser: negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
Negación
La negación está simbolizada por ~. La operación lógica de negación es la más simple y, a menudo, no requiere el uso de la tabla de verdad. Siguiendo el mismo ejemplo, si John es alto (p) y dice que John no es alto (~ p) es FALSO, y viceversa.
Conjunción
La conjunción está simbolizada por ^. El ejemplo "Juan es alto y María es baja" se simbolizará con "p^q "y la tabla de verdad será:
La conjunción sugiere una idea de acumulación, por lo que si una de las proposiciones simples es falsa, es imposible que la proposición compuesta sea verdadera.
Conclusión: las proposiciones conjuntivas compuestas (que contienen la conjuntiva y) solo será verdadera cuando todos sus elementos sean verdaderos.
Ejemplo:
- Paulo, Renato y Túlio son amables y Carolina es divertida. - Si Paulo, Renato o Túlio no son amables o Carolina no es graciosa, la proposición será FALSA. Es necesario que todas la información es verdadera para que la proposición compuesta sea VERDADERA.
Disyunción
La disyunción está simbolizada por v. Cambiar el conector del ejemplo anterior a o tendremos "Juan es alto o María es baja". En este caso, la frase estará simbolizada por "pvq "y la tabla de verdad será:
La disyunción implica una idea de alternancia, por lo tanto, basta con que una de las proposiciones simples sea verdadera para que la compuesta sea también verdadera.
Conclusión: las proposiciones compuestas disyuntivas (que contienen la conjuntiva o) solo será falso cuando todos sus elementos sean falsos.
Ejemplo:
- Mi madre, mi padre o mi tío me darán un regalo. - Para que la afirmación sea VERDADERA, basta que solo uno entre la madre, el padre o el tío entregue el regalo. La proposición solo será FALSA si ninguno de ellos la da.
Condicional
El condicional está simbolizado por →. Está expresado por los conectivos Si y luego, que interconectan las proposiciones simples en una relación causal. El ejemplo "Si Paulo es de Río de Janeiro, entonces es brasileño" se convierte en "p→q "y la tabla de verdad será:
Los condicionales tienen una proposición antecedente y una consecuente, separados por el conectivo luego. En el análisis de condicionales, es necesario evaluar en qué casos la proposición Puede ser posible, considerando la relación de implicación entre el antecedente y el consecuente.
Conclusión: Proposiciones compuestas condicionales (que contienen las conectivas Si y luego) solo será falsa si la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.
Ejemplo:
- Si Paulo es de Río, entonces es brasileño. - Para que esta proposición sea considerada VERDADERA, es necesario evaluar los casos en los que es POSIBLE. Según la tabla de verdad anterior, tenemos:
- Paulo es de Rio / Paulo es brasileño = POSIBLE
- Paulo es de Rio / Paulo no es brasileño = IMPOSIBLE
- Paulo no es de Rio / Paulo es brasileño = POSIBLE
- Paulo no es carioca / Paulo no es brasileño = POSIBLE
bicondicional
El bicondicional está simbolizado por ↔. Se lee a través de los conectivos. Si y sólo si, que interconectan las proposiciones simples en una relación de equivalencia. El ejemplo "Juan es feliz si y sólo si María sonríe". se convierte en "p↔q "y la tabla de verdad será:
Los bicondicionales sugieren una idea de interdependencia. Como lo demuestra el nombre, el bicondicional se compone de dos condicionales: uno que comienza desde PAG por qué (PAG→q) y otro en sentido contrario (q→PAG).
Conclusión: A proposiciones compuestas bicondicionales (que contienen los conectivos Si y sólo si) solo será verdadera cuando todas las proposiciones sean verdaderas o todas las proposiciones sean falsas.
Ejemplo:
- João está feliz si y solo si María sonríe. - Significa decir que:
- Si John está feliz, Mary sonríe y si Mary sonríe, John está feliz = VERDADERO
- Si John no está feliz, Mary no está sonriendo y si Mary no está sonriendo, John no está feliz = VERDADERO
- Si João está feliz, María no sonríe = FALSO
- Si João no está contento, María sonríe = FALSO
Descripción general
Es común que los estudiosos de la tabla de verdad memoricen las conclusiones de cada una de las operaciones lógicas. Para ahorrar tiempo al resolver problemas, siempre tenga en cuenta que:
- Proposiciones conjuntivas: Solo serán verdaderas cuando todos los elementos sean verdaderos.
- Proposiciones disyuntivas: Solo será falso cuando todos los elementos sean falsos.
- Proposiciones condicionales: Solo serán falsas cuando la primera proposición sea verdadera y la segunda falsa.
- Proposiciones bicondicionales: Solo será verdadero cuando todos los elementos sean verdaderos o todos los elementos sean falsos.
