Progresión aritmética, también conocida como P. A, es un tipo de secuencia numérica estudiada por Matemáticas, donde cada término o elemento a partir del segundo es igual a la suma del término anterior con una constante.
En este tipo de secuencia numérica, el número siempre se denomina razón (representado por la letra r) y se obtiene por la diferencia de un término en la secuencia con el anterior.
Luego, a partir del segundo elemento de la secuencia, todos los números resultarán de la suma de la constante con el valor del elemento anterior.
Por ejemplo, la secuencia 5,7,9,11,13,15,17 se puede caracterizar como una progresión aritmética, ya que sus elementos están formados por la suma de su predecesor con la constante 2.
Tipos de progresiones aritméticas
Para comprender mejor este concepto, a continuación se muestran ejemplos de lo que se consideran tipos de progresiones aritméticas.
- (5,5,5,5,5... an) PA finito de relación 0
- (4,7,10,13,16... an ...) PA infinita de relación 3
- (70,60,50,40,30... an) PA finito de relación -10
En los tres ejemplos se observa que para calcular el ratio de PA es necesario calcular la diferencia entre uno de los términos y el término que le precede, como se muestra en la imagen a continuación:
Fórmulas del término general y la suma de una progresión aritmética
En este sentido, la fórmula utilizada que caracteriza el término general de un PA se representa de la siguiente manera:
Donde tenemos:
an = Término general
a₁ = Primer término de la secuencia.
n = Número de términos en P.A. o posición de término numérico en P.A.
r = razón
Sin embargo, si tenemos cualquier P.A finito, para sumar sus términos (elementos) llegaremos a la siguiente fórmula para sumar los n elementos de un P.A. finito.
Donde tenemos:
Sn = Suma de los primeros n términos del PA
a₁ = Primer término del PA
an = Ocupa la enésima posición en la secuencia
n = Puesto a término
Clasificación de progresiones aritméticas
En cuanto a las clasificaciones, las progresiones aritméticas pueden ser crecientes, decrecientes y constantes.
Un PA será creciente cuando su razón (r) es positiva, es decir, mayor que cero (r> 0). La secuencia numérica aumentará cuando cada término del segundo sea mayor que el predecesor. Ej: (1, 3, 5, 7, ...) es un PA creciente de razón 2.
El PA será decreciente si su razón (r) es negativa, es decir, menor que cero (r <0). La secuencia numérica será descendente cuando cada término del segundo sea más pequeño que el predecesor. Ej: (15, 10, 5, 0, -5 ...) es un PA decreciente de razón - 5.
El PA será constante cuando su razón es nula, es decir, es igual a cero (r = 0). Todos sus términos serán los mismos. Ej: (2, 2, 2, ...) es una constante P.A con razón nula.
Progresión aritmética y progresión geométrica
Las progresiones son estudiadas por las matemáticas para definir números secuenciales reales, sin embargo, existe una diferencia entre la progresión aritmética y la progresión geométrica.
Mientras que la progresión aritmética presenta la secuencia de números donde las diferencias numéricas entre un término y su antecedente es constante, en progresión geométrica la constante deriva del cociente de este término y su predecesor.
Véase también el significado de Progresión geométrica.