Ejercicios sobre propiedades de potencias.

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LA potenciación es una operación matemática que se usa para expresar el producto de un número por sí mismo. Esta operación tiene algunas propiedades importantes que permiten simplificar y resolver muchos cálculos.

Las principales propiedades de potenciación ellos son:

→ Potenciación con exponente igual a cero:

$\ dpi {120} \ mathbf {a ^ 0 = 1, a \ neq 0}$

→ Potenciación con exponente igual a 1:

$\ dpi {120} \ mathbf {a ^ 1 = a}$

→ Potenciación de números negativos con $\ dpi {120} \ mathrm {a> 0}$ y $\ dpi {120} \ mathrm {m}$ un número par:

$\ dpi {120} \ mathbf {(- a) ^ m = a ^ m}$

→ Potenciación de números negativos con $\ dpi {120} \ mathrm {a> 0}$ y $\ dpi {120} \ mathrm {m}$ un número impar:

$\ dpi {120} \ mathbf {(- a) ^ m = - (a ^ m)}$

→ Poder de un poder:

$\ dpi {120} \ mathbf {(a ^ m) ^ n = a ^ {m \ cdot n}}$

→ Potencia con exponente negativo:

$\ mathbf {a ^ {- m} = \ bigg (\ frac {1} {a} \ bigg) ^ m = \ frac {1} {a ^ m}}$

→ Multiplicación de potencia:

$\ dpi {120} \ mathbf {a ^ m \ cdot a ^ n = a ^ {m + n}}$

→ División de potencia:

$\ dpi {120} \ mathbf {a ^ m: a ^ n = a ^ {m-n}}$

Para obtener más información, consulte un lista de ejercicios sobre propiedades de potencia. Todos los asuntos resueltos para que puedas aclarar tus dudas.

Índice

Ejercicios sobre propiedades de potencias.
Resolución de la pregunta 1
Resolución de la pregunta 2
Resolución de la pregunta 3
Resolución de la pregunta 4
Resolución de la pregunta 5
Resolución de la pregunta 6
Resolución de la pregunta 7
Resolución de la pregunta 8

Ejercicios sobre propiedades de potencias.

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Pregunta 1. Calcule las siguientes potencias: $\ dpi {120} (-3) ^ 2$ , $\ dpi {120} (-1) ^ 9$ , $\ dpi {120} (-5) ^ 3$ y $\ dpi {120} (-2) ^ 6$ .

Pregunta 2. Calcule las siguientes potencias: $\ dpi {120} 4 ^ 2$ , $\ dpi {120} -4 ^ 2$ y $\ dpi {120} (-4) ^ 2$ .

Pregunta 3. Calcule las potencias de los exponentes negativos: $\ dpi {120} 5 ^ {- 1}$ , $\ dpi {120} 8 ^ {- 2}$ , $\ dpi {120} (-3) ^ {- 3}$ y $\ dpi {120} (-1) ^ {- 8}$ .

Pregunta 4. Calcule las siguientes potencias: $\ dpi {120} (4 ^ 2) ^ 3$ , $\ dpi {120} (-2 ^ 3) ^ {- 1}$ , $\ dpi {120} (3 ^ 2) ^ {- 2}$ y $\ dpi {120} (5 ^ {- 1}) ^ {- 2}$ .

Pregunta 5. Haz las multiplicaciones entre potencias:

$\ dpi {120} 3 ^ 2 \ cdot 3 ^ 3$

$\ dpi {120} 2 ^ 2 \ cdot 2 ^ {- 2} \ cdot 2 ^ {3}$

$\ dpi {120} 3 ^ {- 1} \ cdot 5 ^ 5 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 ^ {- 3} \ cdot 5 ^ 1$

Pregunta 6. Haz las divisiones entre poderes: $\ dpi {120} \ frac {3 ^ 6} {3 ^ 4}$ , $\ dpi {120} \ frac {2 ^ 5} {2 ^ 0}$ y $\ dpi {120} \ frac {5 ^ {- 9}} {5 ^ {- 7}}$ .

Pregunta 7. Calcule las siguientes potencias: $\ dpi {120} \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 2$ , $\ dpi {120} \ left (- \ frac {2} {5} \ right) ^ 3$ , $\ dpi {120} \ left (\ frac {5} {2} \ right) ^ 4$ .

Pregunta 8. Calcular:

$\ dpi {120} \ frac {2 ^ 3 \ cdot 3 ^ {- 2} \ cdot 2 ^ 0 \ cdot 2 ^ {- 5} \ cdot 3 ^ 1} {3 ^ 3 \ cdot 2 ^ 5 \ cdot 3 ^ {- 2}}$

Resolución de la pregunta 1

Como en $\ dpi {120} (-3) ^ 2$ el exponente es par, la potencia será positiva:

$\ dpi {120} (-3) ^ 2 = 3 ^ 2 = 9$

Como en $\ dpi {120} (-1) ^ 9$ el exponente es impar, la potencia será negativa:

$\ dpi {120} (-1) ^ 9 = - (1 ^ 9) = -1$

Como en $\ dpi {120} (-5) ^ 3$ el exponente es impar, la potencia será negativa:

$\ dpi {120} (-5) ^ 3 = - (5 ^ 3) = - 125$

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Como en $\ dpi {120} (-2) ^ 6$ el exponente es par, la potencia será positiva:

$\ dpi {120} (-2) ^ 6 = 2 ^ 6 = 64$

Resolución de la pregunta 2

En los tres casos, la potencia será la misma, excepto el signo, que puede ser positivo o negativo:

$\ dpi {120} 4 ^ 2 = 16$

$\ dpi {120} -4 ^ 2 = - (4 ^ 2) = -16$

$\ dpi {120} (-4) ^ 2 = 4 ^ 2 = 16$

Resolución de la pregunta 3

el poder $\ dpi {120} 5 ^ {- 1}$ es la inversa del poder $\ dpi {120} 5 ^ {1}$ :

$\ dpi {120} 5 ^ {- 1} = \ frac {1} {5 ^ 1} = \ frac {1} {5}$

el poder $\ dpi {120} 8 ^ {- 2}$ es la inversa del poder $\ dpi {120} 8 ^ {2}$ :

$\ dpi {120} 8 ^ {- 2} = \ frac {1} {8 ^ 2} = \ frac {1} {64}$

el poder $\ dpi {120} (-3) ^ {- 3}$ es la inversa del poder $\ dpi {120} (-3) ^ {3}$ :

$\ dpi {120} (-3) ^ {- 3} = \ frac {1} {(- 3) ^ 3} = \ frac {1} {- (3 ^ 3)} = - \ frac {1} { 27}$

el poder $\ dpi {120} (-1) ^ {- 8}$ es la inversa del poder $\ dpi {120} (-1) ^ {8}$ :

$\ dpi {120} (-1) ^ {- 8} = \ frac {1} {(- 1) ^ 8} = \ frac {1} {1 ^ 8} = 1$

Resolución de la pregunta 4

En cada caso, podemos multiplicar los exponentes y luego calcular la potencia:

$\ dpi {120} (4 ^ 2) ^ 3 = 4 ^ {2 \ cdot 3} = 4 ^ 6 = 4096$

$\ dpi {120} (-2 ^ 3) ^ {- 1} = (- 2) ^ {3 \ cdot -1} = (-2) ^ {- 3} = \ frac {1} {(- 2) ^ 3} = - \ frac {1} {8}$

$\ dpi {120} (3 ^ 2) ^ {- 2} = 3 ^ {2 \ cdot -2} = 3 ^ {- 4} = \ frac {1} {3 ^ 4} = \ frac {1} { 81}$

$\ dpi {120} (5 ^ {- 1}) ^ {- 2} = 5 ^ {- 1 \ cdot -2} = 5 ^ 2 = 25$

Resolución de la pregunta 5

En cada caso, sumamos los exponentes de las potencias de la misma base:

$\ dpi {120} 3 ^ 2 \ cdot 3 ^ 3 = 3 ^ {2 + 3} = 3 ^ 5 = 243$

$\ dpi {120} 2 ^ 2 \ cdot 2 ^ {- 2} \ cdot 2 ^ {3} = 2 ^ {2 -2 +3} = 2 ^ 3 = 8$

$\ dpi {120} 3 ^ {- 1} \ cdot 5 ^ 5 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 ^ {- 3} \ cdot 5 ^ 1 = 3 ^ {- 1 +2} \ cdot 5 ^ {5- 3 + 1} = 3 ^ 1 \ cdot 5 ^ 3 = 3 \ cdot 125 = 375$

Resolución de la pregunta 6

En cada caso, restamos los exponentes de las potencias de la misma base:

$\ dpi {120} \ frac {3 ^ 6} {3 ^ 4} = 3 ^ {6 -4} = 3 ^ 2 = 9$

$\ dpi {120} \ frac {2 ^ 5} {2 ^ 0} = 2 ^ {5-0} = 2 ^ 5 = 32$

$\ dpi {120} \ frac {5 ^ {- 9}} {5 ^ {- 7}} = 5 ^ {- 9 - (- 7)} = 5 ^ {- 9 + 7} = 5 ^ {- 2 } = \ frac {1} {25}$

Resolución de la pregunta 7

En cada caso, elevamos ambos términos al exponente:

$\ dpi {120} \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 2 = \ frac {2 ^ 2} {3 ^ 3} = \ frac {4} {27}$

$\ dpi {120} \ left (- \ frac {2} {5} \ right) ^ 3 = - \ frac {2 ^ 3} {5 ^ 3} = - \ frac {8} {125}$

$\ dpi {120} \ left (\ frac {5} {2} \ right) ^ 4 = \ frac {5 ^ 4} {2 ^ 4} = \ frac {625} {16}$

Resolución de la pregunta 8

$\ dpi {120} \ small \ frac {2 ^ 3 \ cdot 3 ^ {- 2} \ cdot 2 ^ 0 \ cdot 2 ^ {- 5} \ cdot 3 ^ 1} {3 ^ 3 \ cdot 2 ^ 5 \ cdot 3 ^ {- 2}} = \ frac {2 ^ {- 2} \ cdot 3 ^ {- 1}} {3 ^ {1} \ cdot 2 ^ 5} = 2 ^ {- 2-5} \ cdot 3 ^ {- 1-1} = 2 ^ {- 7} \ cdot 3 ^ {- 2} = \ frac {1} {2 ^ 7 \ cdot 3 ^ 2} = \ frac {1} {1152}$

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