División de números complejos

Tú números complejos son las que tienen una parte imaginaria, y entre las que también podemos realizar operaciones.

Hay formas específicas de resolver cada uno de ellos. En el caso de división de números complejos usamos el concepto de conjugado de un número complejo.

Conjugado de un número complejo:

Considere un número complejo escrito en forma algebraica $\ dpi {120} \ boldsymbol {z = a + bi}$ , entonces, el conjugado de $\ dpi {120} \ boldsymbol {z}$ está representado por $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ bar {z}}$ y viene dado por:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ bar {z} = a -bi}$

Es decir, para obtener el conjugado, solo necesitamos cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo.

Dicho eso, aprendamos cómo dividir números complejos.

división de números complejos

Para dividir un número complejo $\ dpi {120} \ boldsymbol {z_1}$ por un número complejo $\ dpi {120} \ boldsymbol {z_2}$ , debemos escribir la división en forma de fracción:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {z_1: z_2 = \ frac {z_1} {z_2}}$

Dado que multiplicar y dividir una fracción por el mismo número no cambia el resultado final, entonces dividimos y multiplicamos la fracción por el conjugado del denominador.

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {z_1} {z_2} \ cdot \ frac {\ bar {z_2}} {\ bar {z_2}}}$

Luego sustituimos los términos y multiplicamos las fracciones.

Ejemplo: Si $\ dpi {120} \ boldsymbol {z_1 = 2 -3i}$ y $\ dpi {120} \ boldsymbol {z_2 = 4 + 2i}$ , cual es el valor de $\ dpi {120} \ boldsymbol {z_1: z_2}$ ?

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$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {z_1} {z_2} \ cdot \ frac {\ bar {z_2}} {\ bar {z_2}}}$

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$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {(2-3i)} {(4 + 2i)} \ cdot \ frac {(4-2i)} {(4-2i)}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {8-4i-12i + 6i ^ 2} {16-8i + 8i-4i ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {8-16i + 6i ^ 2} {16-4i ^ 2}}$

Recordando eso $\ dpi {120} \ boldsymbol {i ^ 2 = -1}$ , tenemos:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {8-16i + 6 \ cdot (-1)} {16-4 \ cdot (-1)}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {8-16i-6} {16 + 4}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {2-16i} {20}}$

Podemos simplificar este resultado:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {2-16i} {20} = \ frac {1} {10} - \ frac {4} {5} i}$

Fórmula de división de números complejos

En general, para y $\ dpi {120} \ boldsymbol {z_1 = a + bi}$ y $\ dpi {120} \ boldsymbol {z_2 = c + di}$ , puede verificar una fórmula para dividir números complejos:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {z_1: z_2 = \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {ac + bd} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {bc-ad} {c ^ 2 + d ^ 2} i}$

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