Teorema de D'Alembert

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O Teorema de D'Alembert es dejar saber si un polinomioP (x) es divisible por un binomio de tipo ax + b, incluso antes de realizar la división entre ellos.

En otras palabras, el teorema nos permite saber si el resto R de la división es igual a cero o no. Este teorema es una consecuencia inmediata de la teorema del resto para la división de polinomios. Comprende por qué a continuación.

teorema del resto

Al dividir un polinomio P (x) por un binomio de tipo ax + b, el resto R es igual al valor de P (x) cuando x es la raíz del binomio ax + b.

Raíz del binomio: ax + b = 0 ⇒ x = -b / a. Entonces, según el teorema del resto, tenemos que:

R = P (-b / a)

Ahora, vea que si P (-b / a) = 0, entonces R = 0 y si R = 0, tenemos divisibilidad entre los polinomios. Y eso es exactamente lo que nos dice el teorema de D'Alembert..

Teorema de D'Alembert: si P (-b / a) = 0, entonces el polinomio P (x) es divisible por el binomio ax + b.

Ejemplo 1

Verifica que el polinomio P (x) = 6x² + 2x sea divisible por 3x + 1.

1o) Determinamos la raíz de 3x + 1:

-b / a = -1/3

2) Reemplazamos x por -1/3 en el polinomio P (x) = 6x² + 2x:

P (-1/3) = 6. (- 1/3) ² + 2. (- 1/3)
P (-1/3) = 6. (1/9) + 2. (- 1/3)
P (-1/3) = 6/9 - 2/3
P (-1/3) = 2/3 - 2/3
P (-1/3) = 0

Dado que P (-1/3) = 0, el polinomio P (x) = 6x² + 2x es divisible por 3x + 1.

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Ejemplo 2

Compruebe que el polinomio P (x) = 12x³ + 4x² - 8x sea divisible por 4x.

1o) Determinamos la raíz de 4x:

-b / a = -0/4 = 0

2o) Reemplazamos x por 0 en el polinomio P (x) = 12x³ + 4x² - 8x:

P (0) = 12,0³ + 4,0² - 8,0
P (0) = 0 + 0-0
P (0) = 0

Como P (0) = 0, el polinomio P (x) = 12x³ + 4x² - 8x es divisible por 4x.

Ejemplo 3

Verifica que el polinomio P (x) = x² - 2x + 1 sea divisible por x - 2.

1o) Determinamos la raíz de x - 2:

-b / a = - (- 2) / 1 = 2

2o) Reemplazamos x por 2 en el polinomio P (x) = x² - 2x + 1:

P (2) = 2² - 2,2 + 1
P (2) = 4 - 4 +1
P (2) = 1

Dado que P (2) ≠ 0, el polinomio P (x) = x² - 2x + 1 no es divisible por x - 2.

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