Ángulo entre dos vectores


En matemáticas o física, el vectores ellos son segmentos rectos con dirección, dirección y longitud, que se utilizan para representar cantidades como fuerza, velocidad y aceleración.

Los vectores indican trayectorias y se pueden definir mediante un sistema de coordenadas (x, y). Considerando el punto (0,0) como el origen del segmento, la siguiente figura muestra un vector \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}} cuyo fin es el punto \ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}.

Vector

Notación: \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}.

el ordenado \ dpi {120} \ boldsymbol {x_1} se llama componente horizontal y abscisa \ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}, de componente vertical.

Ahora considere, además del vector \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}, otro vector \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)} y un ángulo formado entre ellos, como se muestra en la figura siguiente.

ángulo entre vectores

Este ángulo entre los vectores se puede calcular mediante una fórmula que involucra el producto escalar entre los vectores y la norma (longitud) de cada vector.

Ángulo entre dos vectores

Dos dados vectoriales \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)} y \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}, el coseno del ángulo \ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta} entre ellos se relaciona con el producto interno entre los vectores y sus patrones de la siguiente manera:

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}

El numerador de la fracción es el producto interno entre los vectores, dado por:

\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}

Y el denominador es el producto entre los estándares de cada uno de los vectores, como sigue:

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\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}
\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}

Al realizar el reemplazo, verificamos que el fórmula de ángulo entre dos vectores é:

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}

Ejemplo:

Calcula el ángulo entre los vectores \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)} y \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}.

Aplicando los valores en la fórmula, tenemos que:

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}
\ dpi {120} \ Flecha derecha \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}
\ dpi {120} \ Flecha derecha \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ left (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}

Usando una calculadora o un tabla trigonométrica, Podemos ver eso:

\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32.47 ^ {\ circ}}

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