Ángulo entre dos vectores

En matemáticas o física, el vectores ellos son segmentos rectos con dirección, dirección y longitud, que se utilizan para representar cantidades como fuerza, velocidad y aceleración.

Los vectores indican trayectorias y se pueden definir mediante un sistema de coordenadas (x, y). Considerando el punto (0,0) como el origen del segmento, la siguiente figura muestra un vector $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ cuyo fin es el punto $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Notación: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

el ordenado $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ se llama componente horizontal y abscisa $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , de componente vertical.

Ahora considere, además del vector $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , otro vector $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ y un ángulo formado entre ellos, como se muestra en la figura siguiente.

Este ángulo entre los vectores se puede calcular mediante una fórmula que involucra el producto escalar entre los vectores y la norma (longitud) de cada vector.

Ángulo entre dos vectores

Dos dados vectoriales $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ y $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , el coseno del ángulo $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ entre ellos se relaciona con el producto interno entre los vectores y sus patrones de la siguiente manera:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

El numerador de la fracción es el producto interno entre los vectores, dado por:

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$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

Y el denominador es el producto entre los estándares de cada uno de los vectores, como sigue:

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$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Al realizar el reemplazo, verificamos que el fórmula de ángulo entre dos vectores é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Ejemplo:

Calcula el ángulo entre los vectores $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ y $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Aplicando los valores en la fórmula, tenemos que:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ left (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}$

Usando una calculadora o un tabla trigonométrica, Podemos ver eso:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32.47 ^ {\ circ}}$

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