A funciones trigonométricasson las funciones seno, coseno y tangente. Todas las funciones trigonométricas relacionan el valor de ángulo en grados o radianes con el valor de la razón trigonométrica, relación que se puede hacer mediante el estudio del ciclo trigonométrico. Con el estudio individual de cada una de las funciones trigonométricas, es posible realizar la representación grafica, estudiar el signo de la función para cada uno de los cuadrantes, entre otras características importante.
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¿Qué son las funciones trigonométricas?
Las funciones trigonométricas más comunes son la función seno, la función coseno y la función tangente. Su estudio está vinculado a la ciclo trigonométrico.
Para cada valor de ángulo, hay un solo valor de seno y coseno. Las funciones trigonométricas no son más que relación entre el ángulo y el valor de la relación trigonométrica para ese ángulo. Recuerde que el valor de este ángulo se puede dar en radianes o grados y que el valor del seno y el coseno es siempre un
Número Real entre -1 y 1.
Nótese en la imagen que, para cada ángulo, el coseno y el seno admitenmetro un valor. Se basa en el estudio de cada una de las funciones trigonométricas que observamos la relación entre el valor del ángulo y el valor de la razón trigonométrica.
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función coseno
La función coseno es la función F: R → R, cuya ley de formación es F(x) = cos (x). Como el coseno de un ángulo es siempre un número entre 1 y -1, entonces -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
Dominio
El dominio de la función coseno es el conjunto de números reales, porque no hay restricción en el valor de x, donde x es el ángulo en radianes. Para cada número real, puede encontrar el valor de cos (x), entonces DF= UNA.
Imagen
Sabemos que el contradominio de la función coseno es el conjunto de números reales, sin embargo, cuando analizamos la imagen de la función, es posible ver que es siempre un valor mayor o igual a -1 y menor o igual a 1, dado que el ciclo trigonométrico tiene radio 1, el valor más grande que puede tomar la función coseno es 1 y, de manera similar, el valor más pequeño que puede tomar es -1. Im = [-1, 1]
Gráfico de función coseno
La gráfica de la función coseno escontenido entre las rectasy = -1 y y = 1. Recuerda que esto sucede porque la imagen de la función es siempre un número entre -1 y 1 y tiene una parte creciente y una parte decreciente, como podemos ver a continuación:
Al hacer coincidir el valor del ángulo con el valor de la relación trigonométrica, puede ver que el gráfico tiene un comportamiento cíclico, es decir, el comportamiento siempre se repite periódicamente. La gráfica de la función coseno se conoce como coseno.
Señal
Sabemos que, en el ciclo trigonométrico, el el coseno tiene valores positivosen los cuadrantes I y IV. El primer cuadrante está entre 0º y 90º, y el cuarto cuadrante está entre 270º y 360º. En radianes, la función es positiva para valores de x entre 0 y π / 2 y entre 3π / 2 y 2π.
La función coseno tiene valores negativosen los cuadrantes II y III, es decir, el ángulo está entre 90º y 270º. En radianes, para que la función coseno sea negativa, x está entre π / 2 y 3π / 2.
Período de función coseno
La gráfica de la función coseno tiene una Período 2π. Analizando, es posible ver que el gráfico está contenido en el rango de 0 a 2π. Para los valores anteriores o posteriores a este rango, el gráfico se repite.
Paridad
La función coseno se considera una incluso función, ya que hay simetría en la gráfica con respecto al eje y. Cuando una función se considera par, tenemos que F (x) = F (-x), es decir, cos (x) = cos (-x).
Arcos notables de la función coseno
Veamos el valor del coseno de los ángulos principales:
Vea también: Secante, cosecante y cotangente - razones trigonométricas inversas de seno, coseno y tangente
función seno
La función coseno es la función F: R → R, cuya ley de formación es F(x) = sin (x). Como el seno de un ángulo, como el coseno, es siempre un número entre 1 y -1, entonces -1 ≤ sin (x) ≤ 1.
Dominio
El dominio de la función seno es el conjunto de números reales. La función F(x) = sin (x) se define para todos los números reales, entonces DF= UNA.
Imagen
La imagen de la función seno valor máximo en F(x) = 1 y valor mínimo cuandof (x) = -1. Entonces, la imagen de la función es el rango real [-1, 1].
gráfico de función seno
La gráfica de la función seno también está limitado por las líneas horizontales y = -1 e y = 1. El comportamiento es similar al de la función seno periódica, con intervalos crecientes e intervalos decrecientes. Vea la representación gráfica de la función seno en el plano cartesiano a continuación:
La gráfica de la función seno también es periódica y se conoce como seno.
Señal
A diferencia de la función coseno, la función seno tiene valores positivos ens cuadrantes Yo y yo primero, es decir, para ángulos entre 0 ° y 180 °. En radianes, la función es positiva para valores entre 0 y π.
La función seno tiene valores negativosen III y IV cuadrantes, es decir, el ángulo está entre 180º y 360º. En radianes, para que la función seno sea negativa, x está entre π y 2π.
Período de función coseno
La gráfica de la función seno tiene una período de 2π. Esto significa que, antes o después del rango de 0 a 2π, la gráfica es periódica, es decir, se repite.
Paridad
La función seno se considera una ocupación soypar, ya que hay simetría en la gráfica en relación con la bisectriz de los cuadrantes impares. Cuando una función se considera impar, tenemos que F (x) = -F (x), es decir, sin (-x) = -sin (x).
Arcos notables de la función seno
Veamos el valor del seno para los ángulos principales:
Función tangente
Lo sabemos la tangente es la razón entre seno y coseno. A diferencia de las dos funciones trigonométricas anteriores, la función tangente no tiene un valor máximo ni mínimo. Además, existen restricciones para el dominio, pero la ley de formación de la función tangente es F(x) = tan (x).
Dominio
La función tangente tiene restricciones para su dominio, ya que está formada por la relación entre el seno y el coseno, no hay valores para la tangente cuando cos (x) = 0. Pesando en el ciclo trigonométrico de 0º a 360º, no se define la función tangente para los ángulos de 90º y 270º, ya que estos son los valores donde el coseno es igual a 0. Cuando hay ángulos mayores a una revolución completa, todos aquellos en los que el valor del coseno es 0 no forman parte del dominio de la función coseno.
Imagen
A diferencia de la función seno y la función coseno, la imagen de la función tangente es el conjunto de números reales, es decir, no está limitado y no tiene valor máximo ni mínimo. Im = R
Gráfico de función tangente
La función tangente también es periódica como las funciones seno y coseno, es decir, siempre se repite. Cuando comparamos:
Señal
la función tangente tiene un valor positivo para los cuadrantes impares, es decir, I y III cuadrantes. Para ángulos entre 0º y 90º y ángulos entre 180º y 270º, la función tiene valores positivos. En radianes, el valor de x debe estar entre 0 y π / 2 o π y 3π / 2.
Curso del tiempo
El período de la función tangente también es diferente de las funciones seno y coseno. O el período de la función tangente es π.
Paridad
la función tangente é una función extraña, porque tan (-x) = -tan (x), por lo que hay simetría en la gráfica con respecto al origen de la plano cartesiano.
Arcos notables de la función tangente
Veamos el valor de la tangente para los ángulos principales:
Vea también: ¿Cómo encontrar el seno y el coseno de ángulos suplementarios?
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Enem 2017) Los rayos de luz solar llegan a la superficie de un lago, formando un ángulo x con su superficie, como se muestra en la figura.
Bajo ciertas condiciones, se puede suponer que la intensidad luminosa de estos rayos, en la superficie del lago, estar dado aproximadamente por I (x) = k · sin (x), siendo k una constante, y suponiendo que X está entre 0 ° y 90º.
Cuando x = 30º, ¿a qué porcentaje de su valor máximo se reduce la intensidad luminosa?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Resolución
Alternativa B
En el rango de 0º a 90º, la función seno tiene su valor más alto cuando x = 90º, por lo que tenemos que:
i = k · sin (90º)
i = k · 1
i = k
Ahora, cuando x = 30º, tenemos que:
i = k · sin (30º)
i = k · 1/2
i = k / 2
Tenga en cuenta que la intensidad i se ha reducido a la mitad, es decir, un 50%.
Pregunta 2 - (Enem 2015) Según el Instituto Brasileño de Geografía y Estadística (IBGE), los productos estacionales son aquellos que presentan ciclos bien definidos de producción, consumo y precio. En resumen, hay épocas del año en las que su disponibilidad en los mercados minoristas es escasa, con precios altos, a veces es abundante, con precios más bajos, lo que ocurre en el mes de máxima producción del cosecha. A partir de una serie histórica, se observó que el precio P, en reales, del kilogramo de un determinado producto estacional se puede describir mediante la función:
Donde x representa el mes del año, donde x = 1 asociado al mes de enero, x = 2, al mes de febrero, y así sucesivamente, hasta x = 12, asociado al mes de diciembre.
En la cosecha, el mes de máxima producción de este producto es
A) enero.
B) abril.
C) junio.
D) julio.
E) Octubre.
Resolución
Alternativa D
La cosecha admite máxima producción cuando el precio es el más bajo, sabemos que la función coseno asume su valor mínimo cuando cos (x) = -1.
El ángulo que tiene un valor de cos de -1 es el ángulo π. Entonces, el argumento del ángulo tiene que ser igual a π, por lo que tenemos que:
El mes 7 es el mes de julio.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-1.htm
