Construcción paso a paso de la gráfica de la función de segundo grado

En escuela primaria, funciones son fórmulas matemáticas que asocian cada número en un conjunto numérico (el dominio) con un solo número que pertenece a otro conjunto (el contradominio). Cuando esta fórmula es un ecuación de segundo grado, tenemos uno función de la escuela secundaria.

Las funciones se pueden representar mediante figuras geométricas cuyas definiciones coinciden con sus fórmulas matemáticas. Este es el caso de la recta, que representa funciones de primer grado, y la parábola, que representa funciones de segundo grado. Estas figuras geométricas se llaman gráficos.

La idea central de la representación de funciones mediante un gráfico.

Para graficar una función, es necesario evaluar qué elemento del contradominio está relacionado con cada elemento del dominio y marcarlos, uno a uno, en un plano cartesiano. Cuando se califiquen todos estos puntos, el resultado será solo el gráfico de una función.

Es de destacar que el funciones de la escuela secundaria, generalmente se definen en un dominio igual al conjunto completo de números reales. Este conjunto es infinito y, por tanto, es imposible marcar todos sus puntos en un plano cartesiano. Por tanto, la alternativa es trazar un gráfico que pueda representar en parte la función evaluada.

En primer lugar, recuerde que las funciones de segundo grado toman la siguiente forma:

y = ax² + bx + c

Por eso te presentamos cinco pasos que hacen posible construir un gráfico de función de segundo grado, exactamente como los requeridos en la escuela secundaria.

Paso 1: evaluación general del trabajo

Hay algunos indicadores que le ayudarán a averiguar si se está tomando el camino correcto al construir el gráfico de función de la escuela secundaria.

I - El coeficiente "a" de un función de la escuela secundaria indica su concavidad, es decir, si a> 0, la parábola estará hacia arriba y tendrá un punto mínimo. Si a <0, la parábola estará hacia abajo y tendrá un punto máximo.

II) El primer punto A de la gráfico de una parábola se puede obtener fácilmente con solo mirar el valor del coeficiente “c”. Por tanto, A = (0, c). Esto sucede cuando x = 0. Mirar:

y = ax² + bx + c

y = a · 0² + b · 0 + c

y = c

Paso 2 - Encuentra las coordenadas del vértice

el ápice de un parábola es su punto máximo (si es <0) o mínimo (si es> 0). Se puede encontrar sustituyendo los valores de los coeficientes “a”, “b” y “c” en las fórmulas:

X_v = - B
2do

y_v = –∆
Cuarto

Así, el vértice V viene dado por los valores numéricos de x_v y y_v y se puede escribir así: V = (x_vaa_v).

Paso 3: puntos aleatorios en el gráfico

Siempre es bueno indicar algunos puntos aleatorios cuyos valores asignados a la variable x sean mayores y menores que x_v. Esto le dará puntos antes y después del vértice y facilitará el dibujo del gráfico.

Paso 4: si es posible, determina las raíces

Cuando existen, las raíces pueden (y deben) incluirse en el diseño del gráfica de una función de segundo grado. Para encontrarlos, establezca y = 0 para obtener una ecuación cuadrática que pueda resolverse con la fórmula de Bhaskara. recuérdalo resolver una ecuación cuadrática es lo mismo que encontrar sus raíces.

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LA Fórmula de Bhaskara depende de la fórmula del discriminante. Son ellas:

x = - b ± √∆
2do

∆ = b² - 4ac

Paso 5 - Marcar todos los puntos obtenidos en el plano cartesiano y vincularlos para construir una parábola.

Recuerda que el plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. Esto significa que, además de contener todos los números reales, estas líneas forman un ángulo de 90 °.

Ejemplo de plano cartesiano y ejemplo de parábola.

Ejemplo

Grafique la función de segundo grado y = 2x² - 6x.

Solución: Tenga en cuenta que los coeficientes de esta parábola son a = 2, b = - 6 y c = 0. De esta manera, por el paso 1, podemos decir eso:

1 - La parábola estará hacia arriba, como 2 = a> 0.

2 - Uno de los puntos de esta parábola, representado por la letra A, está dado por el coeficiente c. Pronto, A = (0,0).

por el paso 2, observamos que el vértice de esta parábola es:

X_v = - B
2do

X_v = – (– 6)
2·2

X_v = 6
4

X_v = 1,5

y_v = – ∆
Cuarto

y_v = – (B² - 4 · a · c)
Cuarto

y_v = – ((– 6)² – 4·2·0)
4·2

y_v = – (36)
8

y_v = – 36
8

y_v = – 4,5

Por tanto, las coordenadas del vértice son: V = (1,5; - 4,5)

Utilizando la paso 3, elegiremos solo dos valores para la variable x, uno mayor y otro menor que x_v.

Si x = 1,

y = 2x² - 6x

y = 2 · 1² – 6·1

y = 2 · 1 - 6

y = 2 - 6

y = - 4

Si x = 2,

y = 2x² - 6x

y = 2 · 2² – 6·2

y = 2 · 4 - 12

y = 8 - 12

y = - 4

Por tanto, los dos puntos obtenidos son B = (1, - 4) y C = (2, - 4)

Piel paso 4, que no es necesario hacer si la función no tiene raíces, obtenemos los siguientes resultados:

∆ = b² - 4ac

∆ = (– 6)² – 4·2·0

∆ = (– 6)²

∆ = 36

x = - b ± √∆
2do

x = – (– 6) ± √36
2·2

x = 6 ± 6
4

x '= 12
4

x '= 3

x '' = 6 – 6
4

x '' = 0

Por tanto, los puntos obtenidos a través de las raíces, considerando que, para obtener x = 0 y x = 3, fue necesario establecer y = 0, son: A = (0, 0) y D = (3, 0).

Con eso, obtenemos seis puntos para dibujar la gráfica de la función y = 2x² - 6x. Ahora solo cumple el paso 5 para construirlo definitivamente.

Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas